Question

設地球是一個密度均勻的球體，已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，如果沿地球的直徑挖一條隧道，將物體從此隧道一端由靜止釋放剛好運動到另一端（如圖所示），不考慮阻力，在此過程中關于物體的運動速度v隨時間t變化的關系圖象可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意知，地球表面的重力加速度等于半徑為R的球體在表面產生的加速度，深度為d位置的加速度相當于半徑為R-d的球體在其產生的加速度，根據(jù)地球質量分布均勻得到加速度的表達式，再根據(jù)半徑關系分析加速度的變化求解即可．
解答：解：如果物體在距地心為r處（r≤R），那么這個物體只會受到以地心為球心、以r為半徑的那部分球體的萬有引力，
而距地心為r到R之間的物質對物體作用力的合力為零．物體掉入隧道之后，不是做自由落體運動．
設物體的質量為m，地球密度為ρ，以半徑為r的那部分球體的質量為M，距地心r處的重力加速度為g，
則M=πr³ρ，
=mg，得
g==πρGr． ①
由于物體掉入隧道之后，r在變化，由①式可知g也在變化，且離地心越近g越小，在地心處g=0．所以物體不是做自由落體運動．
考慮到方向，有g=-πρGr，即物體的加速度g與位移r大小成正比、方向相反，所以物體在隧道中的運動是簡諧運動．
故選C．
點評：解決該題關鍵要運用萬有引力等于重力表示出隧道內的重力加速度的變化情況去分析運動情況．