Question

設(shè)地球是一個(gè)密度均勻的球體，已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，如果沿地球的直徑挖一條隧道，將物體從此隧道一端由靜止釋放剛好運(yùn)動到另一端（如圖所示），不考慮阻力，在此過程中關(guān)于物體的運(yùn)動速度v隨時(shí)間t變化的關(guān)系圖象可能是（　　）

A、

B、

C、

D、

Answer 1

分析：根據(jù)題意知，地球表面的重力加速度等于半徑為R的球體在表面產(chǎn)生的加速度，深度為d位置的加速度相當(dāng)于半徑為R-d的球體在其產(chǎn)生的加速度，根據(jù)地球質(zhì)量分布均勻得到加速度的表達(dá)式，再根據(jù)半徑關(guān)系分析加速度的變化求解即可．

解答：解：如果物體在距地心為r處（r≤R），那么這個(gè)物體只會受到以地心為球心、以r為半徑的那部分球體的萬有引力，
而距地心為r到R之間的物質(zhì)對物體作用力的合力為零．物體掉入隧道之后，不是做自由落體運(yùn)動．
設(shè)物體的質(zhì)量為m，地球密度為ρ，以半徑為r的那部分球體的質(zhì)量為M，距地心r處的重力加速度為g，
則M=

4

3

πr³ρ，

GMm

r2

=mg，得
g=

GMm

r2

=

4

3

πρGr． ①
由于物體掉入隧道之后，r在變化，由①式可知g也在變化，且離地心越近g越小，在地心處g=0．所以物體不是做自由落體運(yùn)動．
考慮到方向，有g(shù)=-

4

3

πρGr，即物體的加速度g與位移r大小成正比、方向相反，所以物體在隧道中的運(yùn)動是簡諧運(yùn)動．
故選C．

點(diǎn)評：解決該題關(guān)鍵要運(yùn)用萬有引力等于重力表示出隧道內(nèi)的重力加速度的變化情況去分析運(yùn)動情況．