Question

2．如圖所示的裝置，x軸負(fù)半軸上為速度選擇器，正半軸上有一圓形磁場(chǎng)，y軸上有一豎直屏，一束帶正電的離子流從狹縫S₁射進(jìn)速度選擇器，能夠沿直線通過(guò)速度選擇器并從狹縫S₂進(jìn)入圓形磁場(chǎng)，已知速度選擇器內(nèi)部存在著相互垂直的場(chǎng)強(qiáng)為E₀的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．圓形磁場(chǎng)的圓心位于x=R處，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)一粒子從圓形磁場(chǎng)射出并打在y軸負(fù)半軸上的（$\sqrt{2}$+1）R處，則：
（1）圓形磁場(chǎng)的大小和方向?yàn)槎嗌伲?br />（2）若在圓形磁場(chǎng)外存在半徑為$\sqrt{3}$R的同心圓，圓環(huán)內(nèi)存在方向與圓形磁場(chǎng)相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B′，上述粒子恰好能穿出外邊的磁場(chǎng)，那么B′的值為多少？
（3）在第（2）問(wèn)中，粒子從進(jìn)入圓形磁場(chǎng)到恰好穿出環(huán)形磁場(chǎng)的時(shí)間為多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在速度選擇器中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用平衡條件與牛頓第二定律可以求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，應(yīng)用幾何知識(shí)求出粒子的軌道半徑，然后應(yīng)用牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（3）根據(jù)題意求出粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)周期，然后求出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在速度選擇器中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件得：
qE₀=qvB₀，
解得：v=$\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}$，
粒子沿半徑方向射入磁場(chǎng)，粒子射出圓形磁場(chǎng)時(shí)，速度方向的反向延長(zhǎng)線過(guò)圓形磁場(chǎng)的圓心，由幾何知識(shí)得：
r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：B=$\frac{\sqrt{3}m{E}_{0}}{qR{B}_{0}}$，方向：垂直于紙面向外；
（2）粒子進(jìn)入外側(cè)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與外圓相切，如圖所示：
由幾何知識(shí)得：R²+r²=[（$\sqrt{2}$+1）R-r]²，解得：r′=R，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qvB′=m$\frac{{v}^{2}}{r′}$，
解得：B′=$\frac{m{E}_{0}}{q{B}_{0}R}$；
（3）粒子在內(nèi)側(cè)磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T₁=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2\sqrt{3}πR{B}_{0}}{3{E}_{0}}$，
粒子在內(nèi)側(cè)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₁=$\frac{1}{3}$T₁=2$\frac{\sqrt{3}πR{B}_{0}}{9{E}_{0}}$，
粒子在外磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T₂=$\frac{2πm}{qB′}$=$\frac{2πR{B}_{0}}{{E}_{0}}$，
粒子在外磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)是時(shí)間：t₂=$\frac{3}{8}$T₂=$\frac{3πR{B}_{0}}{4{E}_{0}}$，
粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=t₁+t₂=$\frac{（27+8\sqrt{3}）πR{B}_{0}}{36{E}_{0}}$；
答：（1）圓形磁場(chǎng)的大小為：$\frac{\sqrt{3}m{E}_{0}}{qR{B}_{0}}$，方向：垂直于紙面向外；
（2）B′的值為：$\frac{m{E}_{0}}{q{B}_{0}R}$；
（3）在第（2）問(wèn)中，粒子從進(jìn)入圓形磁場(chǎng)到恰好穿出環(huán)形磁場(chǎng)的時(shí)間為：$\frac{（27+8\sqrt{3}）πR{B}_{0}}{36{E}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在速度選擇器與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子在速度選擇器中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用平衡條件與牛頓第二定律可以解題．