Question

11．如圖，電阻不計足夠長的兩金屬導軌平行傾斜放置，與水平面的夾角θ=30°，導軌間距為l，處于方向垂直于導軌平面強度為B的勻強磁場中．長度均為l的導體棒ab和cd垂直跨放在導軌上．a(chǎn)b棒的質量為m、電阻為r，與導軌間的動摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．cd棒光滑，質量為2m、電阻為r．開始兩棒均位于導軌頂端，現(xiàn)由靜止同時釋放兩棒，當cd棒下滑的距離為x時，ab棒開始運動．設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g．求：
（1）ab棒開始運動時，cd棒的速度v；
（2）cd棒下滑x距離的過程中，ab棒中產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）cd棒運動過程中的最小加速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律、安培力公式列式，再根據(jù)ab棒的受力平衡即可求解cd棒的速度；
（2）根據(jù)能量守恒定律求解回路的總熱量，再根據(jù)電阻關系得出ab棒中產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）根據(jù)法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律得出安培力與速度的關系式，再根據(jù)牛頓第二定律分析兩棒的加速度變化情況，ab剛開始運動時，${a}_{1}^{\;}＞{a}_{2}^{\;}$，兩棒的速度差△v逐漸變大，安培力F繼續(xù)變大，cd的加速度${a}_{1}^{\;}$減小、ab的加速度${a}_{2}^{\;}$增大，直到${a}_{1}^{\;}={a}_{2}^{\;}$，故兩棒的速度差最終為定值．兩棒最終的加速度為a，此即為cd棒的最小的加速度．

解答 解：（1）ab棒開始運動時，根據(jù)平衡條件得：
F+mgsinθ=μmgcosθ…①
而安培力F=BIl…②
根據(jù)閉合電路歐姆定律$I=\frac{E}{r+r}$…③
根據(jù)法拉第電磁感應定律：E=BLv…④
整理得$v=\frac{mgr}{2{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}}$…⑤
（2）設此過程中產(chǎn)生的總熱量Q，根據(jù)能量守恒定律：
$Q=2mgxsinθ-\frac{1}{2}（2m）{v}_{\;}^{2}$…⑥
ab棒中產(chǎn)生的焦耳熱${Q}_{1}^{\;}=\frac{r}{r+r}Q$…⑦
整理得${Q}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}mgx-\frac{{m}_{\;}^{3}{g}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}}{8{B}_{\;}^{4}{l}_{\;}^{4}}$…⑧
（3）當ab運動后，某時刻cd、ab的速度分別用${v}_{1}^{\;}$、${v}_{2}^{\;}$表示，此后經(jīng)過極短時間△t過程中，與導軌圍成的矩形的面積變化△S為
$△S=l（{v}_{1}^{\;}△t-{v}_{2}^{\;}△t）$…⑨
根據(jù)法拉第電磁感應定律，ab、cd與導軌圍成的閉合電路中的感應電動勢
$E=\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{B•△S}{△t}$…⑩
由②③④⑩得，此時每棒受到的安培力大小
$F=\frac{{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}（{v}_{1}^{\;}-{v}_{2}^{\;}）}{2r}$…⑪
設此時cd、ab的加速度分別為${a}_{1}^{\;}$、${a}_{2}^{\;}$
對cd：$2mgsinθ-F=2m{a}_{1}^{\;}$…⑫
對ab：$F+mgsinθ-μmgcosθ=m{a}_{2}^{\;}$…⑬
△t時間之后，兩棒的速度為：
${v}_{1}^{′}={v}_{1}^{\;}+{a}_{1}^{\;}•△t$               ${v}_{2}^{′}={v}_{2}^{\;}+{a}_{2}^{\;}•△t$…⑭
ab剛開始運動時，${a}_{1}^{\;}＞{a}_{2}^{\;}$，兩棒的速度差△v逐漸變大，安培力F繼續(xù)變大，由⑫⑬知${a}_{1}^{\;}$減小、${a}_{2}^{\;}$增大，直到${a}_{1}^{\;}={a}_{2}^{\;}$，故兩棒的速度差最終為定值．
由⑫⑬得，兩棒最終的加速度為a，此即為cd棒的最小的加速度．
$a=\frac{1}{4}g$…⑮
答：（1）ab棒開始運動時，cd棒的速度v為$\frac{mgr}{2{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}}$；
（2）cd棒下滑x距離的過程中，ab棒中產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{1}{2}mgx-$$\frac{{m}_{\;}^{3}{g}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}}{8{B}_{\;}^{4}{l}_{\;}^{4}}$；
（3）cd棒運動過程中的最小加速度為$\frac{1}{4}g$．

點評 本題是電磁感應中的力學問題，綜合運用電磁學知識、力平衡知識和牛頓第二定律進行求解．注意兩個導體棒切割磁感線的有效速度為一個相對另一個的相對速度．