Question

20．平行板電容器AB兩極板之間電壓為U，間距為d．下極板與一個(gè)直徑為L(zhǎng)的半圓形金屬通道相連，金屬通道有兩個(gè)同心的半圓形金屬片CD組成，圓心貼在O′處，兩個(gè)金屬片彼此靠近又不接觸，中間存在徑向電場(chǎng)，即電場(chǎng)大小相等，方向都指向O′．半圓形通道與下極板接觸點(diǎn)有小孔相連通．現(xiàn)從正對(duì)B板小孔緊靠A板的O處由靜止釋放一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電微粒（微粒的重力不計(jì)），粒子在半圓形軌道間運(yùn)動(dòng)而不會(huì)發(fā)生碰撞．
（1）求出微粒穿過B板小孔進(jìn)入半圓形軌道時(shí)的速度大小和半圓形金屬通道內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度大�。�
（2）從釋放微粒開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間微粒通過半圓形金屬板間的最低點(diǎn)P點(diǎn)？
（3）若把半圓形軌道內(nèi)的電場(chǎng)改為磁場(chǎng)，則需要一個(gè)什么樣的磁場(chǎng)可以實(shí)現(xiàn)無碰撞通過半圓形軌道？

Answer 1

分析 （1）先由AB間電場(chǎng)加速后進(jìn)入半圓形金屬通道作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，先根據(jù)動(dòng)能定理求出加速度得到的速度．再根據(jù)電場(chǎng)力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律列式求解半圓形金屬通道內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度．
（2）由位移等于平均速度乘以時(shí)間，列式求出微粒在AB間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．再由圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出微粒從C到P的時(shí)間．
（3）若把半圓形軌道內(nèi)的電場(chǎng)改為磁場(chǎng)，微粒在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為$\frac{L}{2}$，由洛倫茲力提供向心力，列式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，由左手定則判斷磁場(chǎng)的方向．

解答 解：（1）微粒在AB間加速過程，由動(dòng)能定理得：qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$…①
得：v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
微粒在半圓形金屬通道作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律得：qE=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{L}{2}}$…②
聯(lián)立①②解得：E=$\frac{4U}{L}$
（2）設(shè)微粒在AB間運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，從C運(yùn)動(dòng)到P的時(shí)間為t₂．
則在AB間，有：d=$\frac{v}{2}{t}_{1}$，
得：t₁=d$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$
從C運(yùn)動(dòng)到P的時(shí)間為：t₂=$\frac{\frac{π}{2}•\frac{L}{2}}{v}$=$\frac{πL}{4}$$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$
故有：t=t₁+t₂=d$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$+$\frac{πL}{4}$$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$=（d+$\frac{πL}{8}$）$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$
（3）若把半圓形軌道內(nèi)的電場(chǎng)改為磁場(chǎng)，由左手定則判斷知，磁場(chǎng)方向必須垂直紙面向里，設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．
根據(jù)qvB=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{L}{2}}$
得：B=$\frac{2}{L}$$\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
答：（1）微粒穿過B板小孔進(jìn)入半圓形軌道時(shí)的速度大小為$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$，半圓形金屬通道內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為$\frac{4U}{L}$．
（2）從釋放微粒開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過（d+$\frac{πL}{8}$）$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$時(shí)間微粒通過半圓形金屬板間的最低點(diǎn)P點(diǎn)．
（3）若把半圓形軌道內(nèi)的電場(chǎng)改為磁場(chǎng)，則需要一個(gè)垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{2}{L}$$\sqrt{\frac{2mU}{q}}$的磁場(chǎng)可以實(shí)現(xiàn)無碰撞通過半圓形軌道．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要明確微粒的運(yùn)動(dòng)情況，判斷其受力情況，運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法處理．對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵要確定向心力的來源．