Question

3．如圖所示，間距L=lm的光滑平行金屬導軌固定在絕緣水平面上，導軌左側水平，右側與水平面成θ=37°（sin37°=0.6、cos37°=0.8），兩部分導軌平滑連接，導軌電阻不計，導軌右端連有R=0.5Ω的電阻，空間存在著磁感應強度為B=1T的豎直向上的勻強磁場．t=0時刻，有一質量m=lkg、電阻r=0.5Ω的金屬棒以v₀=10m/s的初速度從導軌上某一位置PP′開始沿導軌向右滑行，同時對金屬棒施加一個水平向右且垂直于金屬棒的外力F，使金屬棒做加速度大小為2m/s²的勻減速直線運動．已知金屬棒垂直于導軌且與導軌接觸良好，PP′距離水平導軌右端d=9m．在t=ls時撤去外力F，從撤去外力開始到金屬桿運動到最高點的過程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量為4J，g取10m/s²，求：
（1）金屬桿能達到的距水平導軌的最大高度；
（2）從撤去外力開始到金屬棒運動到最高點的過程中，通過電阻R的電量q．

Answer 1

分析 （1）由金屬棒在水平導軌做勻減速運動，求得撤去外力時的位置及速度；然后分析金屬棒受力，再應用動能定理即可求解；
（2）求得閉合電路的電流表達式，然后寫出在極短時間內通過電阻的電量，在對整個過程進行累加即可求解．

解答 解：（1）金屬棒在外力的作用下以初速度v₀=10m/s，加速度大小a=2m/s²減速運動1s的位移$x={v_0}t-\frac{1}{2}a{t^2}$=$10×1-\frac{1}{2}×2×{1}^{2}m=9m$；
故t=1s時金屬桿剛好運動到水平導軌最右端，此時速度v=v₀-at=8m/s；
撤去外力后，金屬桿沿傾斜導軌向上運動，設速度為v'，則金屬桿切割磁感線產(chǎn)生的電動勢E=BLv′cosθ=0.8v′，所以，通過金屬桿的電流$I=\frac{E}{R+r}=0.8v′$，
則安培力方向為水平向左，安培力大小為F=BIL=0.8v′，
則金屬桿在沿傾斜導軌方向上的合外力大小為F'=Fcos37°+mgsin37°=6+0.64v′（N），方向沿斜面向下，故金屬桿向上做變減速直線運動直至速度為零．
在此過程中，設金屬桿能上升的最大高度為h，克服安培力做功為W_安，由動能定理得：$-{W_安}-mgh=-\frac{1}{2}m{v^2}$；
由串聯(lián)電路的焦耳定律可知：金屬桿與電阻R在相同時間內產(chǎn)生的熱量相等，即：Q_R=Q_r；
金屬桿克服安培力做的功等于金屬桿和電阻R產(chǎn)生的熱量之和：W_安=Q_R+Q_r；
所以，$h=\frac{\frac{1}{2}m{v}^{2}-{W}_{安}}{mg}=\frac{\frac{1}{2}m{v}^{2}-2{Q}_{R}}{mg}$=$\frac{\frac{1}{2}×1×{8}^{2}-2×4}{1×10}m=2.4m$；
（2）由（1）可知，電流I=0.8v′，那么在極短時間△t內通過電阻R的電量為△q=I△t=0.8△s，那么在整個上滑過程金屬棒的位移$s=\frac{h}{sinθ}=\frac{2.4}{0.6}m=4m$；
所以，對整個上滑過程的電量進行累加可得：q=0.8s=3.2C．
答：（1）金屬桿能達到的距水平導軌的最大高度為2.4m；
（2）從撤去外力開始到金屬棒運動到最高點的過程中，通過電阻R的電量q為3.2C．

點評 在閉合電路切割磁感線的問題中，一般由速度求得電動勢，再根據(jù)電路求得電流，進而得到安培力的表達式；然后我們就可以通過受力分析，應用牛頓第二定律求得運動方程式，并有動能定理求得功、能量的相關問題．