Question

一艘宇宙飛船繞著某行星作勻速圓周運動，已知圓周運動的軌道半徑為r，運行周期為T，引力常量為G，行星半徑為R，試求（用題中已知量表示）：
（1）行星的質量M；
（2）物體在該行星表面附近做自由落體運動時的加速度a；
（3）衛(wèi)星圍繞該行星做勻速圓周運動時的最大速度Vm．

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力提供向心力，結合軌道半徑和周期求出行星的質量．
（2）根據萬有引力等于重力得出行星表面的重力加速度，即自由落體運動的加速度．
（3）當衛(wèi)星的軌道半徑最小時，衛(wèi)星做勻速圓周運動的線速度最大，根據萬有引力提供向心力求出衛(wèi)星做勻速圓周運動時的最大速度．

解答：解：（1）行星對飛船的萬有引力提供飛船所需向心力：G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r
解得    M=

4π2r3

GT2

（2）根據萬有引力等于重力得：G

Mm

R2

=mg=ma
解得  a=

GM

R2

=

4π2r3

R2T2

（3）衛(wèi)星在行星附近作勻速圓周運動時的速度最大，即第一宇宙速度：G

Mm′

R2

=m′

v2

R

    v=

GM R

=

4π2r3 RT2

答：（1）行星的質量M=

4π2r3

GT2

．
（2）物體在該行星表面附近做自由落體運動時的加速度為

4π2r3

R2T2

．
（3）衛(wèi)星圍繞該行星做勻速圓周運動時的最大速度為

4π2r3 RT2

．

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用．