Question

13．靜電場方向平行于x軸，其電勢φ隨x的分布如圖所示，圖中φ₀和d為已知量．一個帶負(fù)電的粒子在電場中以x=0為中心，沿x軸方向做周期性運(yùn)動．已知該粒子質(zhì)量為m、電量為-q，其動能與電勢能之和為-A（0＜A＜qφ₀）．忽略重力．求：
（1）粒子所受電場力的大��；
（2）粒子的運(yùn)動區(qū)間；
（3）粒子從左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)運(yùn)動到中心點(diǎn)O處的時間．

Answer 1

分析 （1）由圖可知，當(dāng)電勢隨x均勻變化時，電場為勻強(qiáng)電場，由電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系可求得電場強(qiáng)度，即可求得電場力；
（2）由題意可知，動能與電勢能之和保持不變，設(shè)出運(yùn)動區(qū)間為[-x，x]，由題意可知x處的電勢，則由數(shù)學(xué)關(guān)系可求得x值；
（3）粒子在區(qū)間內(nèi)做周期性變化，且從最遠(yuǎn)點(diǎn)到O點(diǎn)時做勻變速直線運(yùn)動，則由運(yùn)動學(xué)規(guī)律可求得時間．

解答 解：（1）由圖可知，0與d（或-d）兩點(diǎn)間的電勢差為φ₀
電場強(qiáng)度的大�。篍=$\frac{{φ}_{0}}zpnfvzh$
電場力的大�。篎=qE=$\frac{q{φ}_{0}}l7xpnxn$
（2）設(shè)粒子在[-x，x]區(qū)間內(nèi)運(yùn)動，速率為v，由題意得：
 $\frac{1}{2}m{v^2}-qϕ=-A$…①
由圖可知：$ϕ={ϕ_0}（1-\frac{|x|}zvzjp7l）$…②
由①②得：$\frac{1}{2}m{v^2}=q{ϕ_0}（1-\frac{|x|}bzfxj97）-A$…③
因動能非負(fù)，有：$q{ϕ_0}（1-\frac{|x|}xpjrhp7）-A≥0$
得：$|x|≤d（1-\frac{A}{{q{ϕ_0}}}）$
即：${x_0}=d（1-\frac{A}{{q{ϕ_0}}}）$
粒子運(yùn)動區(qū)間：-d（1-$\frac{A}{qφ0}$）≤x≤d（1-$\frac{A}{qφ0}$）
（3）考慮粒子從-x₀處開始運(yùn)動的四分之一周期
根據(jù)牛頓第二定律，粒子的加速度：$a=\frac{F}{m}=\frac{Eq}{m}=\frac{{q{φ_0}}}{md}$
由勻加速直線運(yùn)動：$t=\sqrt{\frac{{2{x_0}}}{a}}$
將④⑤代入，得：$t=\sqrt{\frac{{2m{d^2}}}{{q{φ_0}}}（1-\frac{A}{{q{φ_0}}}）}$
粒子從左側(cè)最遠(yuǎn)端運(yùn)動到O點(diǎn)所用時間：
t_n=（2n+1）t=（2n+1）$\sqrt{\frac{2mlzznznl^{2}}{q{φ}_{0}}（1-\frac{A}{q{φ}_{0}}）}$，（n=0，1，2，3，…）
答：
（1）粒子所受電場力的大小是$\frac{q{φ}_{0}}ppxftdz$；
（2）粒子的運(yùn)動區(qū)間是：-d（1-$\frac{A}{qφ0}$）≤x≤d（1-$\frac{A}{qφ0}$）；
（3）粒子從左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)運(yùn)動到中心點(diǎn)O處的時間是（2n+1）$\sqrt{\frac{2mr17ffnh^{2}}{q{φ}_{0}}（1-\frac{A}{q{φ}_{0}}）}$，（n=0，1，2，3，…）．

點(diǎn)評 本題要明確圖象的斜率表示電場強(qiáng)度，能從圖象中判斷出電場的性質(zhì)，并能靈活應(yīng)用功能關(guān)系結(jié)合數(shù)學(xué)知識和周期性研究．