Question

11．雨滴在空中下落時會受到空氣阻力，阻力f的大小與雨滴的截面積S成正比，與雨滴下落速率v的二次方成正比，即f=kSv²，其中k為已知的常數(shù)．密度為ρ、半徑為r的雨滴，從高為h處以初速度v₀（很�。┴Q直下落，落地前已經(jīng)勻速運動．已知半徑為r的球體的體積為V=$\frac{4}{3}$πr³，重力加速度為g，求
（1）雨滴落地時的速度v_max；
（2）下落過程中空氣阻力對雨滴所做的功W．

Answer 1

分析 （1）抓住雨滴所受的重力和空氣阻力相等，結(jié)合球體的體積和橫截面積公式求出最大速度的大�。�
（2）全過程由重力與空氣阻力做功，由動能定理可求得空氣阻力做功．

解答 解：（1）雨滴的質(zhì)量m=$\frac{4}{3}π{r}^{3}ρ$                 
    截面積s=πr²                              
    向下勻速運動時，有ks${v}_{max}^{2}$=mg
    聯(lián)立解得：${v}_{max}=\sqrt{\frac{4ρgr}{3k}}$                       
（2）雨滴下落過程，由動能定理：mgh+W=$\frac{1}{2}m{v}_{max}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$                 
  解得：W=$\frac{2}{3}πρ{r}^{3}（\frac{4ρgr}{3k}-{v}_{0}^{2}-2gh）$       
答：（1）雨滴落地時的速度為$\sqrt{\frac{4ρgr}{3K}}$．
（2）下落過程中空氣阻力對雨滴所做的功為 $\frac{2}{3}πρ{r}^{3}（\frac{4ρgr}{3k}-{v}_{0}^{2}-2gh）$

點評 本題考查了共點力平衡和牛頓第二定律的基本運用，知道雨滴速度最大時，重力和阻力相等，由動能定理求功．