(30分)如圖所示,水平放置的金屬細圓環(huán)半徑為a,豎直放置的金屬細圓柱(其半徑比a小得多)的端面與金屬圓環(huán)的上表面在同一平面內,圓柱的細軸通過圓環(huán)的中心O.一質量為m,電阻為R的均勻導體細棒被圓環(huán)和細圓柱端面支撐,棒的一端有一小孔套在細軸O上,另一端A可繞軸線沿圓環(huán)作圓周運動,棒與圓環(huán)的摩擦系數為μ.圓環(huán)處于磁感應強度大小為、方向豎直向上的恒定磁場中,式中K為大于零的常量,r為場點到軸線的距離.金屬細圓柱與圓環(huán)用導線ed連接.不計棒與軸及與細圓柱端面的摩擦,也不計細圓柱、圓環(huán)及導線的電阻和感應電流產生的磁場.問沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的A端才能使棒以角速度ω 勻速轉動.
注:
將整個導體棒分割成個小線元,小線元端點到軸線的距離分別為r0(=0),r1,r2,……,ri-1,ri,……,rn-1,rn(= a),第i個線元的長度為,當很小時,可以認為該線元上各點的速度都為,該線元因切割磁感應線而產生的電動勢為
(1)
整個棒上的電動勢為
(2)
由 ,
略去高階小量(Δr)2及(Δr)3,可得
代入(2)式,得
(3)
由全電路歐姆定律,導體棒通過的電流為
(4)
導體棒受到的安培力方向與棒的運動方向相反.
第i個線元受到的安培力為
(5)
作用于該線元的安培力對軸線的力矩
作用于棒上各線元的安培力對軸線的總力矩為
即
(6)
因棒A端對導體圓環(huán)的正壓力為mg,所以摩擦力為,對軸的摩擦力矩為
(7)
其方向與安培力矩相同,均為阻力矩.為使棒在水平面內作勻角速轉動,要求棒對于O軸所受的合力矩為零,即外力矩與阻力矩相等,設在A點施加垂直于棒的外力為f,則有
(8)
由(6)、(7)、(8)式得
(9)
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A、小煤塊先作勻加速直線運動,后作勻速直線運動 | B、小煤塊一直作勻加速直線運動 | C、全過程中,小煤塊先受到向右的滑動摩擦力,后不受摩擦力作用 | D、全過程中,小煤塊先受到向右的滑動摩擦力,后受到向右的靜摩擦力作用 |
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