Question

（30分）如圖所示，水平放置的金屬細圓環(huán)半徑為a，豎直放置的金屬細圓柱（其半徑比a小得多）的端面與金屬圓環(huán)的上表面在同一平面內，圓柱的細軸通過圓環(huán)的中心O．一質量為m，電阻為R的均勻導體細棒被圓環(huán)和細圓柱端面支撐，棒的一端有一小孔套在細軸O上，另一端A可繞軸線沿圓環(huán)作圓周運動，棒與圓環(huán)的摩擦系數為μ．圓環(huán)處于磁感應強度大小為、方向豎直向上的恒定磁場中，式中K為大于零的常量，r為場點到軸線的距離．金屬細圓柱與圓環(huán)用導線ed連接．不計棒與軸及與細圓柱端面的摩擦，也不計細圓柱、圓環(huán)及導線的電阻和感應電流產生的磁場．問沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的A端才能使棒以角速度ω 勻速轉動．

注：

Answer 1

將整個導體棒分割成個小線元，小線元端點到軸線的距離分別為r₀(=0)，r₁，r₂，……，r_i-1，r_i，……，r_n-1，r_n(= a)，第i個線元的長度為，當很小時，可以認為該線元上各點的速度都為，該線元因切割磁感應線而產生的電動勢為

(1)

整個棒上的電動勢為

(2)

由 ，

略去高階小量(Δr)²及(Δr)³，可得

代入(2)式，得

(3)

由全電路歐姆定律，導體棒通過的電流為

(4)

導體棒受到的安培力方向與棒的運動方向相反．

第i個線元受到的安培力為

(5)

作用于該線元的安培力對軸線的力矩

作用于棒上各線元的安培力對軸線的總力矩為

即

（6）

因棒A端對導體圓環(huán)的正壓力為mg，所以摩擦力為，對軸的摩擦力矩為

(7)

其方向與安培力矩相同，均為阻力矩．為使棒在水平面內作勻角速轉動,要求棒對于O軸所受的合力矩為零，即外力矩與阻力矩相等，設在A點施加垂直于棒的外力為f，則有

　 　　 （8）

由(6)、(7)、（8）式得

(9)