Question

15．一個(gè)平板小車置于光滑水平面上，其右端恰好和一個(gè)$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道AB的底端等高對(duì)接，如圖所示．已知小車質(zhì)量M=3.0kg，長(zhǎng)L=2.06m，圓弧軌道半徑R=0.8m，現(xiàn)將一質(zhì)量m=1.0kg的小滑塊由軌道頂端A點(diǎn)無(wú)初速釋放，滑塊滑到B端后沖上小車．滑塊與小車上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3．（取g=10m/s²），試求：
（1）滑塊到達(dá)B端時(shí)，軌道對(duì)它支持力的大��；
（2）小車運(yùn)動(dòng)1s時(shí)，車右端距軌道B端的距離；
（3）滑塊與車面間由于摩擦而產(chǎn)生的內(nèi)能．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒求出小滑塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對(duì)它的支持力．
（2）滑塊滑上小車后，小車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，滑塊做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，若兩者速度相等時(shí)，一起做勻速直線運(yùn)動(dòng)．根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，求出速度相等時(shí)的共同速度，由能量守恒定律對(duì)系統(tǒng)研究列式，求出此時(shí)滑塊在小車滑行的距離．
（3）產(chǎn)生的內(nèi)能與相對(duì)位移有關(guān)．根據(jù)相對(duì)位移求內(nèi)能．或根據(jù)能量守恒求．

解答 解：（1）滑塊從A端下滑到B端，由機(jī)械能守恒得：
mgR=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
得：v₀=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得軌道對(duì)滑塊的支持力為：F_N=30 N
（2）滑塊滑上小車后，假設(shè)滑塊沒(méi)有滑出小車二者同速，設(shè)速度為v，由動(dòng)量守恒：
mv₀=（M+m）v，
代入數(shù)據(jù)得：v=1m/s
由能的轉(zhuǎn)化和守恒得：μmg•△s=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$（M+m）v²；
滑塊在小車上滑行長(zhǎng)度為：△s=2m＜L=2.06m
即滑塊沒(méi)有滑離小車．
當(dāng)滑塊滑上小車后，由牛頓第二定律，
對(duì)滑塊有：-μmg=ma₁       
對(duì)小車有：μmg=Ma₂           
設(shè)經(jīng)時(shí)間t兩者達(dá)到共同速度，
則有：v₀+a₁t=a₂t 
代入數(shù)據(jù)解得：t=1 s
則小車運(yùn)動(dòng)1s時(shí)，車右端距軌道B端的距離：S=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×{1}^{2}$=0.5 m
（3）滑塊與車面間由于摩擦而產(chǎn)生的內(nèi)能為：
Q=μmg△s=0.3×1×10×1J=3J
答：（1）滑塊到達(dá)B端時(shí)，軌道對(duì)它支持力的大小是30N．
（2）小車運(yùn)動(dòng)1.6s時(shí)，小車右端離軌道B端的距離0.5m；
（3）滑塊與小車間由于摩擦而產(chǎn)生的內(nèi)能3J．

點(diǎn)評(píng) 本題是機(jī)械能守恒、牛頓第二定律、動(dòng)量守恒和能量守恒的綜合應(yīng)用，根據(jù)能量守恒定律求解滑塊相對(duì)小車滑行的距離是常用的方法