Question

14．如圖所示，質(zhì)量為m=1kg的小球用長為L=1kg的細(xì)線懸掛在O點(diǎn)，O點(diǎn)距地面的高度為h=1.25m，已知細(xì)線能承受的最大拉力為F=20N，g=10m/s²，如果使小球繞OO′軸在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動．求：
（1）當(dāng)小球的角速度為多大時，細(xì)線將斷裂；
（2）細(xì)線斷裂后，小球落地點(diǎn)與O′間的水平距離．

Answer 1

分析 （1）小球靠拉力和重力的合力提供向心力，根據(jù)幾何關(guān)系求出最大向心力，根據(jù)向心力公式求出角速度；
（2）繩斷裂后，小球做平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的基本公式即可求解．

解答 解：（1）繩的拉力和重力的合力充當(dāng)向心力．設(shè)繩斷裂時與豎直方向的夾角為α，
在豎直方向上有：Fcosα=mg，即：20cosα=1×10，
解得：cosα=$\frac{1}{2}$，α=60⁰，
根據(jù)牛頓第二定律有：mgtan60°=mLsin60°ω³
代入數(shù)據(jù)解得：ω=2$\sqrt{10}$rad/s
（2）線斷后小球做平拋運(yùn)動，
初速度為：v₀=ωLsin60°=$\frac{\sqrt{30}}{2}$m/s
小球落地的位移為：y=h-Lcos60°
設(shè)小球落地時間為t，則：y=$\frac{1}{2}$gt²
水平位移為：x=v₀t
小球落地點(diǎn)與O′間的水平距離為：d=$\sqrt{{L}^{2}si{n}^{2}α+{x}^{2}}$
聯(lián)立以上各式代入數(shù)據(jù)解得：d=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$m
答：（1）當(dāng)小球的角速度為2$\sqrt{10}$rad/s時細(xì)線將斷裂；                
（2）線剛好拉斷時的位置與球落地點(diǎn)的水平距離為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$m．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵搞清小球做圓周運(yùn)動向心力的來源，找到圓周，定出半徑，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解；對于第二問得求解，注意空間的幾何關(guān)系．