Question

20．如圖所示，底面半徑為R=1m的平底漏斗水平放置，質量為m=1kg的小球置于底面邊緣，漏斗內表面光滑，側壁的傾角為37°．現給小球一垂直于半徑向里的某一初速度，使之在漏斗內做圓周運動，（重力加速度為g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）小球不脫離底面時，角速度ω的取值？
（2）當小球轉動的角速度ω₁=2rad/s時底面的支持力F₁和側壁的支持力F₂多大？

Answer 1

分析 （1）小球在漏斗底面內做勻速圓周運動，合外力提供向心力，對小球受力分析，分底面的支持力為零和不為零兩種情況，根據牛頓第二定律列式討論即可求解．
（2）對小球進行受力分析，水平方向的分力提供向心力，豎直方向處于平衡狀態(tài)，分別列方程即可求出．

解答 解：（1）小球在漏斗底面內做勻速圓周運動，合外力提供向心力，對小球受力分析，受到重力、底面的支持力以及側面的彈力，若側面對小球的彈力豎直方向分量恰好等于重力時，小球受兩個力的作用，恰好要離開地面；
當底面對小球的支持力為零時，由重力和側面的彈力的合力提供向心力，則有：
mgtanθ=mω²R
解得：ω=$\sqrt{\frac{gtanθ}{R}}=\sqrt{\frac{10×tan37°}{1}}=5\sqrt{0.3}$rad/s；
（2）當小球轉動的角速度ω₁=2rad/s時小球的受力如圖，側壁的支持力F₂沿水平方向的分力提供向心力，得：

${F}_{2}sin37°=m{ω}_{1}^{2}R$
得：F₂=$\frac{20}{3}$N
豎直方向：F₂cos37°+F₁=mg
得：F₁=$\frac{14}{3}$N
答：（1）小球不脫離底面時，角速度ω的取值是$5\sqrt{0.3}$rad/s
（2）當小球轉動的角速度ω₁=2rad/s時底面的支持力F₁和側壁的支持力F₂分別是$\frac{14}{3}N和\frac{20}{3}N$．

點評 解決本題的關鍵知道向心力的來源，運用牛頓第二定律進行求解，明確當底面對小球的支持力為零時，由重力和側面的彈力的合力提供向心力．