Question

16．如圖所示，遙控電動(dòng)賽車（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)由靜止出發(fā)，經(jīng)過時(shí)間t后關(guān)閉電動(dòng)機(jī)，賽車?yán)^續(xù)前進(jìn)至B點(diǎn)后進(jìn)入固定在豎直平面內(nèi)的圓形光滑軌道，通過軌道最高點(diǎn)P后又進(jìn)入水平軌道CD上．已知賽車在水平軌道AB部分和CD部分運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力恒為車重的0.5倍，即k=$\frac{{F}_{f}}{mg}$=0.5，賽車的質(zhì)量m=0.4kg，通電后賽車的電動(dòng)機(jī)以額定功率P=20W工作，軌道AB的長度足夠長，圓形軌道的半徑R=0.5m，空氣阻力可忽略，重力加速度g取10m/s²．某次比賽，要求賽車以最大的速度進(jìn)入軌道，則在此條件下，求：
（1）賽車最大速度是多少？
（2）賽車以最大速度到達(dá)軌道B點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力是多大？賽車以此速度能否完成圓軌道運(yùn)動(dòng)？
（3）賽車在CD軌道將滑行多少距離才能停下．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)賽車的牽引力等于阻力時(shí)，速度達(dá)到最大，根據(jù)功率和阻力的大小求出最大速度的大�。�
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出賽車在圓軌道B點(diǎn)所受的支持力，從而得出賽車對(duì)軌道的壓力大�。�根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出P點(diǎn)的速度，結(jié)合P點(diǎn)的最小速度判斷能否完成圓軌道運(yùn)動(dòng)．
（3）C點(diǎn)的速度等于B點(diǎn)的速度，結(jié)合動(dòng)能定理求出賽車在CD軌道將滑行的距離．

解答 解：（1）賽車功率恒定，當(dāng)F=F_f時(shí)，v達(dá)最大  又因?yàn)镕_f=kmg
故有P=Fv=F_f v_max 
代入數(shù)據(jù)得v_max=10 m/s．    
（2）賽車到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，開始做圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)B點(diǎn)有
F_N-mg=m$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$
v_B=v_max=10 m/s
代入數(shù)據(jù)解得F_N′=F_N=84 N   
賽車能夠完成圓軌道運(yùn)動(dòng)，要求其到最高點(diǎn)時(shí)的速度不能小于臨界速度v₀
恰好過最高點(diǎn)時(shí)     mg=$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
解得v₀=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{5}$ m/s
設(shè)以最大速度到最高點(diǎn)速度為v_P，根據(jù)機(jī)械能守恒，有
$\frac{1}{2}m{{v}_{max}}^{2}=mg2R+\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得v_P=4$\sqrt{5}$ m/s＞$\sqrt{5}$ m/s      
所以賽車可以以最大速度進(jìn)入軌道而完成圓軌道運(yùn)動(dòng)．
（3）由于圓軌道光滑，故有v_C=v_B=10 m/s
設(shè)小車在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的距離為x，
由動(dòng)能定理可得：-kmgx=0-$\frac{1}{2}$$m{{v}_{C}}^{2}$
代入數(shù)據(jù)可得x=10 m．
答：（1）賽車最大速度為10m/s；
（2）賽車以最大速度到達(dá)軌道B點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力是84N，賽車以此速度能完成圓軌道運(yùn)動(dòng)．
（3）賽車在CD軌道將滑行10m距離才能停下．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源以及最高點(diǎn)的臨界情況是解決本題的關(guān)鍵．