Question

16．設定地球是一個質量均勻分布的球體，己知質量分布均勻的球殼對其內部物體的引力為零．如圖所示，有科學家設想在地球內部修建一條半徑為r的環(huán)形軌道，在環(huán)形軌道內發(fā)射一顆人造“地星”A，人造“地星”僅在萬有引力作用下做勻速圓周運動．另在地球上空發(fā)射一顆軌道半徑為R的人造地球衛(wèi)星B．己知地球半徑為R_o，則下列關于“地星”A與衛(wèi)星B運動的向心加速度大小、線速度大小、角速度、周期之比正確的是（　　）

• A． $\frac{{a}_{A}}{{a}_{B}}$=（$\frac{R}{r}$）²
• B． $\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\frac{r}{{R}_{0}}$$\sqrt{\frac{R}{{R}_{0}}}$
• C． $\frac{{ω}_{A}}{{ω}_{B}}$=$\frac{R}{{R}_{0}}$$\sqrt{\frac{R}{{R}_{0}}}$
• D． $\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}$=$\frac{R}{r}$$\sqrt{\frac{R}{r}}$

Answer 1

分析 由地球質量等于密度乘以體積，可得地球質量表達式；由萬有引力提供向心力，對A、B分別列方程可得兩物體各物理量之比．

解答 解：設地球的密度為ρ，對于地星A：$G\frac{ρ\frac{4}{3}π{r}^{3}}{{r}^{2}}=\frac{{v}_{A}^{2}}{r}={a}_{A}=r{ω}_{A}^{2}$，
對于衛(wèi)星B：$G\frac{ρ\frac{4}{3}π{R}_{0}^{3}}{{R}^{2}}=\frac{{v}_{B}^{2}}{R}={a}_{B}=R{ω}_{B}^{2}$=R$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{B}^{2}}$
解得：A、$\frac{{a}_{A}}{{a}_{B}}$=$\frac{{R}^{2}r}{{R}_{0}^{2}}$，則A錯誤
     B、$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\frac{r}{{R}_{0}}\sqrt{\frac{R}{{R}_{0}}}$，則B正確
     C、$\frac{{ω}_{A}}{{ω}_{B}}$=$\frac{R}{{R}_{0}}\sqrt{\frac{R}{{R}_{0}}}$，則C正確
　　　D、$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}=\frac{{R}_{0}}{R}\sqrt{\frac{{R}_{0}}{R}}$，則D錯誤
故選：BC

點評 由地球質量等于密度乘以體積，可得地球質量表達式；由萬有引力提供向心力，對A、B分別列方程可得兩物體速度和加速度之比．