Question

17．如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定有兩個很靠近的同心圓軌道，外圓光滑，內(nèi)圓粗糙，一質(zhì)量為m的小球從軌道的最低點以初速度v₀向右運動，球的直徑略小于兩圓間距，球運動的軌道半徑為R，不計空氣阻力，重力加速度為g．
（1）判斷小球在運動過程中機械能是否守恒，并簡要說明原因．
（2）若使小球始終做完整的圓周運動，則v₀的最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機械能守恒的條件，通過小球是否與內(nèi)壁接觸，判斷機械能是否守恒．
（2）小球始終做完整的圓周運動，可知小球與軌道間沒有摩擦，根據(jù)牛頓第二定律求出最高點的最小速度，結(jié)合動能定理求出初速度的最小值．

解答 解：（1）若小球運動過程中速度較大，不與軌道內(nèi)壁接觸，則機械能守恒．
若小球運動過程中速度較小，與軌道內(nèi)壁接觸，由于摩擦力做功，則機械能不守恒．
（2）若使小球始終做完整的圓周運動，可知小球與軌道間沒有摩擦，
在最高點，根據(jù)$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
解得${v}_{1}=\sqrt{gR}$，
根據(jù)動能定理得，$-mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得v₀的最小值${v}_{0}=\sqrt{5gR}$．
答：（1）若小球運動過程中速度較大，不與軌道內(nèi)壁接觸，則機械能守恒．若小球運動過程中速度較小，與軌道內(nèi)壁接觸，由于摩擦力做功，則機械能不守恒．
（2）若使小球始終做完整的圓周運動，則v₀的最小值是$\sqrt{5gR}$．

點評 本題考查了動能定理、牛頓第二定律的綜合運用，知道最高點的臨界情況，結(jié)合動能定理、牛頓第二定律綜合求解，難度不大．