Question

如圖所示，在xOy 坐標(biāo)系內(nèi)有垂直紙面向外的范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B．在t=0 時(shí)刻有兩個(gè)粒子N、P分別從坐標(biāo)原點(diǎn)O及坐標(biāo)（ L，0）點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)．N粒子帶正電，電量為q，質(zhì)量為m，速度大小為v_n、方向?yàn)樵趚Oy 平面內(nèi)的所有可能的方向；P粒子不帶電，其速度大小為v_P．方向?yàn)樵趚Oy 平面內(nèi)且與x 軸的負(fù)方向的夾角為q．兩粒子所受的重力不計(jì)．
（1）對(duì)于Vn有一臨界值v，當(dāng)v_n＜v 時(shí)，兩個(gè)粒子不可能相遇，求臨界值可的大小；
（2）若兩個(gè)粒子相遇的位置在y軸上，且已知q=30°，L=

3

m，m=6.4×10^-27kg，q=3.2×10^-19 C，v_n=1.15π?10⁷m/s，v_P=3?10⁶ m/s．求v_n的方向與y 軸正方向的夾角β

Answer 1

分析：（1）P粒子不帶電，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，N粒子帶正電，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，臨界狀態(tài)是兩者軌跡相切的情況，根據(jù)洛倫茲力提供向心力公式及幾何關(guān)系即可求解速度；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，相遇的時(shí)間為P粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再結(jié)合周期公式分N粒子的軌跡為優(yōu)弧和劣弧兩種情況討論即可求解．

解答：解：（1）臨界情況如圖所示：
洛倫茲力提供向心力，則有：
Bqv=m

v2

R

解得：R=

mv

Bq

根據(jù)幾何關(guān)系有：
2R=Lsinθ
則v=

BqLsinθ

2m

（2）由作圖及幾何關(guān)系可知，N粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R=1m
N粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πR

vn

=

4×10-7

2.3

s
相遇的時(shí)刻t=

sp

vp

=

2

3×106

=

2

3

×10-6s  ①
若N粒子的軌跡為劣弧，則t=

2kπ+ π 3

2π

?T（k=0，1，2…）②
若N粒子的軌跡為優(yōu)弧，則t=

2kπ+ 5π 3

2π

?T（k=0，1，2…）③
由①③兩式解得：k=3
由①②兩式k無整數(shù)解．
因此N粒子的軌跡為優(yōu)弧，v_n的方向與y軸正方向的夾角為β=150°
答：（1）臨界值的大小為

BqLsinθ

2m

；
（2）v_n的方向與y 軸正方向的夾角β為150°

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在磁場中圓周運(yùn)動(dòng)的問題，關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析兩個(gè)粒子之間運(yùn)動(dòng)周期和軌跡半徑的關(guān)系，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問題的能力．