Question

（2011?山西模擬）如圖所示，在一底邊長(zhǎng)為2a，θ=30°的等腰三角形區(qū)域內(nèi)（D在底邊中點(diǎn)），有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子從靜止開(kāi)始經(jīng)過(guò)電勢(shì)差為U的電場(chǎng)加速后，從D點(diǎn)垂直于EF進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)重力和與空氣阻力的影響．
（1）若粒子恰好垂直于EC邊射出磁場(chǎng)，求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為多少？
（2）改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后能打到ED板，求粒子從進(jìn)入磁場(chǎng)到第一次打到ED板的最長(zhǎng)時(shí)間是多少？
（3）改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，可以再延長(zhǎng)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的極限時(shí)間．（不計(jì)粒子與ED板碰撞的作用時(shí)間．設(shè)粒子與ED板碰撞前后，電量保持不變并以相同的速率反彈）

Answer 1

分析：（1）由動(dòng)能定理求粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)的速度，畫(huà)出粒子的軌跡運(yùn)動(dòng)圖，由幾何知識(shí)求半徑；
（2）從進(jìn)入磁場(chǎng)到第一次打到ED板的圓周軌跡到EC邊相切時(shí)，路程最長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)；
（3）當(dāng)r越小，后一次打到ED板的點(diǎn)越靠近E端點(diǎn)，在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)累積路程越大，時(shí)間越長(zhǎng)．當(dāng)r為無(wú)窮小，經(jīng)過(guò)n個(gè)半圓運(yùn)動(dòng)，最后一次打到E點(diǎn)．

解答：解：（1）依題意，粒子經(jīng)電場(chǎng)加速射入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v
由qU=

1

2

mv²得：

v=

2qU m

 ①
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)其圓心在E點(diǎn)，如圖所示，半徑r₁=a ②
由洛侖茲力提供向心力：qvB=m

v2

r1

 ③
由①②③式得：B=

1

a

2mU q

                   
（2）粒子速率恒定，從進(jìn)入磁場(chǎng)到第一次打到ED板的圓周軌跡到EC邊相切時(shí)，路程最長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)．如圖，設(shè)圓周半徑為r₂
由圖中幾何關(guān)系：r₂+

r2

sinθ

=a  　　　
得：r₂=

1

3

a  …④
最長(zhǎng)時(shí)間t=

πr2

v

  …⑤
由①④⑤式得：t=

πa

3

m 2qU

　　　
（3）設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)圓周半徑為r，r=

mv

qB

，當(dāng)r越小，后一次打到ED板的點(diǎn)越靠近E端點(diǎn)，在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)累積路程越大，時(shí)間越長(zhǎng)．當(dāng)r為無(wú)窮小，經(jīng)過(guò)n個(gè)半圓運(yùn)動(dòng)，最后一次打到E點(diǎn)．
有：n=

a

2r

   …⑥
圓周運(yùn)動(dòng)周期：T=

2πr

v

   …⑦
最長(zhǎng)的極限時(shí)間：t_m=n

T

2

   …⑧
由⑥⑦⑧式得：t_m=

πa

2v

=

πa

2

m 2qU

　
答：（1）若粒子恰好垂直于EC邊射出磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為

1

a

2mU q

；
（2）粒子從進(jìn)入磁場(chǎng)到第一次打到ED板的最長(zhǎng)時(shí)間是

πa

3

m 2qU

；
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的極限時(shí)間為

πa

2

m 2qU

．

點(diǎn)評(píng)：做好此類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確的畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，利用幾何知識(shí)求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，再結(jié)合半徑公式和周期公式去分析．