Question

11．電子感應加速器工作原理如圖所示（上圖為側視圖、下圖為真空室的俯視圖），它主要有上、下電磁鐵磁極和環(huán)形真空室組成．當電磁鐵繞組通以變化電流時，產(chǎn)生變化磁場，穿過真空盒所包圍的區(qū)域內(nèi)的磁通量隨時間變化，這時真空盒空間內(nèi)就產(chǎn)生感應渦旋電場，電子將在渦旋電場作用下得到加速．在豎直向上的磁感應強度增大過程中，將產(chǎn)生渦旋電場，其電場線是在水平面內(nèi)一系列沿順時針方向的同心圓，同一條電場線上各點的場強大小相等，渦旋電場場強與電勢差的關系與勻強電場相同．設被加速的電子被“約束”在半徑為r的圓周上運動．整個圓面區(qū)域內(nèi)存在有勻強磁場，該勻強磁場的磁感應強度的大小隨時間變化的關系式為：B=kt．
（1）求電子所在圓周上的感生電場場強的大�。�
（2）若電子離開電子槍時的速度為v₀，求電子被加速一圈之后的速度大小；
（3）在（1）條件下，為了維持電子在恒定的軌道上加速，需要在軌道邊緣處外加一個勻強磁場B_r，求電子軌道處的磁場B_r與軌道內(nèi)的磁場B應滿足什么關系；
（4）若給電磁鐵通入正弦交變電流，一個周期內(nèi)電子能被加速幾次．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應定律，結合磁通量表達式，即可求解；
（2）根據(jù)動能定理，結合電場力做功，即可求解；
（3）根據(jù)運動的合成與分解，由牛頓第二定律，結合洛倫茲力與向心力表達式，即可求解；
（4）根據(jù)在不同時間內(nèi)，分析電子受力與運動情況，從而即可求解．

解答 解：（1）設被加速的電子被“約束”在半徑為r的圓周上運動，在半徑為r的圓面上，通過的磁通量為Φ=BπR²，B是整個圓面區(qū)域內(nèi)的磁感應強度，電子所在圓周上的感生電場場強為E′．
根據(jù)法拉第電磁感應定律E=$\frac{△Φ}{△t}$ 得，$E′×2πr=\frac{△B}{△t}π{r}^{2}$
感生電場的大小：$E′=\frac{kr}{2}$
（2）根據(jù)動能定理，則有：$E′e×2πr=\frac{m（{v}^{2}-{v}_{0}^{2}）}{2}$
解得：v=$\sqrt{\frac{2kπe{r}^{2}}{m}+{v}_{0}^{2}}$
（3）設電子在半徑為r的軌道上運動時，軌道所在處的磁感應強度為B_r，而在半徑為r的圓面區(qū)域內(nèi)的磁感應強度為B，維持電子在恒定的軌道上加速時，由牛頓第二定律得
在切線方向：$eE′=ma=m\frac{△v}{△t}$，
將$E′=\frac{r}{2}\frac{△B}{△t}$
代入$e•\frac{r}{2}•\frac{△B}{△t}$=m$\frac{△v}{△t}$        ①
在半徑方向：$ev{B}_{r}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
化簡得$e{B}_{r}=m\frac{v}{r}$    ②
將②式對時間微分得$e\frac{△{B}_{r}}{△t}=\frac{m}{r}•\frac{△v}{△t}$            ③
由①③得${B}_{r}=\frac{B}{2}$
  即電子軌道處的磁感應強度為軌道內(nèi)部磁感應強度的一半．
（4）
給電磁鐵通入交變電流如圖3所示，從而產(chǎn)生變化的磁場，變化規(guī)律如圖4所示（以圖乙中所標電流產(chǎn)生磁場的方向為正方向），要使電子能被逆時針（從上往下看，以下同）加速，
一方面感生電場應是順時針方向，即在磁場的第一個或第四個$\frac{1}{4}$周期內(nèi)加速電子；
而另一方面電子受到的洛侖茲力應指向圓心，只有磁場的第一或第二個$\frac{1}{4}$周期才滿足．
所以只有在磁場變化的第一個$\frac{1}{4}$周期內(nèi)，電子才能在感生電場的作用下不斷加速．
因此，一個周期內(nèi)電子只能被加速一次．
答：（1）電子所在圓周上的感生電場場強的大小$\frac{kr}{2}$；
（2）若電子離開電子槍時的速度為v₀，電子被加速一圈之后的速度大小$\sqrt{\frac{2kπe{r}^{2}}{m}+{v}_{0}^{2}}$；
（3）在（1）條件下，為了維持電子在恒定的軌道上加速，需要在軌道邊緣處外加一個勻強磁場B_r，電子軌道處的磁感應強度為軌道內(nèi)部磁感應強度的一半；
（4）若給電磁鐵通入正弦交變電流，一個周期內(nèi)電子能被加速一次．

點評 考查屬于力電綜合題，掌握牛頓第二定律與運動學公式的應用，注意運動的合成與分解，同時掌握洛倫茲力與向心力表達式．關鍵還是畫出電子的運動軌跡．