Question

4．如圖所示，半徑R=0.8m的光滑$\frac{1}{4}$圓弧軌道固定在光滑水平面上，在軌道末端c點(diǎn)緊靠（不相連）一質(zhì)量M=3kg的長(zhǎng)木板，長(zhǎng)木板上表面與圓弧軌道末端的切線相平，距離木板右側(cè)1m處有一固定在地面上的木樁，軌道上方的A點(diǎn)與軌道圓心D的連線長(zhǎng)也為R，且AO連線與水平方向夾角θ=30°．一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)量為m=lkg的小物塊，從A點(diǎn)由靜止開始下落后打在圓弧軌道的B點(diǎn)，假設(shè)在該瞬間碰撞過程中，小物塊沿半徑方向的分速度立刻減為零，而沿切線方向的分速度不變，此后小物塊將沿圓弧軌道下滑，已知小物塊與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3，（g取10m/s²）．求：

（1）小物塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）長(zhǎng)木板第一次與木樁碰撞時(shí)的速度大小；
（3）假設(shè)長(zhǎng)木板與木樁和圓弧軌道間的每一次碰撞過程都不損失機(jī)械能，為使小物塊不滑出長(zhǎng)木板，木板的長(zhǎng)度至少為多少？

Answer 1

分析 （1）物塊從A到B的過程中，物塊只在重力的作用下運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能守恒，有機(jī)械能守恒可以求得到達(dá)B時(shí)的速度的大小；
（2）小物塊在長(zhǎng)木板上運(yùn)動(dòng)的過程中，系統(tǒng)不受其他外力的作用，所以系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，有動(dòng)量守恒定律可以求得長(zhǎng)木板的速度的大��；
（3）小物塊不滑出長(zhǎng)木板，則小物塊和長(zhǎng)木板的動(dòng)能都克服摩擦力做功，轉(zhuǎn)化成系統(tǒng)的內(nèi)能，根據(jù)能量的守恒可以求得木板的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）小物塊落到圓弧上的B點(diǎn)，B、A兩點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，則：AB=R，
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²，
解得：v_B=$\sqrt{2gR}$=4m/s，
所以小物塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度大小為4m/s．
（2）小物體到達(dá)B點(diǎn)后沿切線方向的分速度：v_B切=v_Bcosθ，
解得：v_B切=2$\sqrt{3}$m/s，
小物體從B點(diǎn)到C點(diǎn)，機(jī)械能守恒，去圓弧最低點(diǎn)C為重力勢(shì)能的零點(diǎn)，
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_B切²+mgR（1-sinθ）=$\frac{1}{2}$mv_C²，
解得：v_C=2$\sqrt{5}$m/s，
設(shè)長(zhǎng)木板第一次與木樁碰撞之前，小物塊與長(zhǎng)木板的速度相同，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
mv_C=（M+m）v，
解得：v=$\frac{\sqrt{5}}{2}$m/s，
對(duì)長(zhǎng)木板，由動(dòng)能定理得：μmgs=$\frac{1}{2}$Mv²，
解得：s=$\frac{5}{8}$m＜1m
假設(shè)成立，即長(zhǎng)木板第一次與木樁碰撞時(shí)，速度的大小為$\frac{\sqrt{5}}{2}$m/s．
（3）長(zhǎng)木板第一次由于木樁碰撞反彈后，以向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
Mv-mv=（M+m）v′，
解得：v′=$\frac{\sqrt{5}}{4}$m/s，
由能量守恒定律得：μmgL=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$（m+M）v′²，
解得：L=$\frac{25}{8}$m=3.125m，所以木板的長(zhǎng)度至少為3.125m；
答：（1）小物塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度大小為4m/s；
（2）長(zhǎng)木板第一次與木樁碰撞時(shí)的速度大小為$\frac{\sqrt{5}}{2}$m/s；
（3）木板的長(zhǎng)度至少為3.125m．

點(diǎn)評(píng) 物體與斜面碰撞時(shí)，損失了物體沿半徑方向的速度，所以在物體與斜面碰撞后，物體的速度要變化．本題考查了機(jī)械能守恒還有動(dòng)量守恒，同時(shí)還有摩擦力做功轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)內(nèi)能的問題，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，對(duì)學(xué)生的能力要求較強(qiáng)．