Question

4．如圖所示，半徑R=0.8m的光滑$\frac{1}{4}$圓弧軌道固定在光滑水平面上，在軌道末端c點緊靠（不相連）一質量M=3kg的長木板，長木板上表面與圓弧軌道末端的切線相平，距離木板右側1m處有一固定在地面上的木樁，軌道上方的A點與軌道圓心D的連線長也為R，且AO連線與水平方向夾角θ=30°．一個可視為質點、質量為m=lkg的小物塊，從A點由靜止開始下落后打在圓弧軌道的B點，假設在該瞬間碰撞過程中，小物塊沿半徑方向的分速度立刻減為零，而沿切線方向的分速度不變，此后小物塊將沿圓弧軌道下滑，已知小物塊與長木板間的動摩擦因數μ=0.3，（g取10m/s²）．求：

（1）小物塊運動到B點時的速度大小；
（2）長木板第一次與木樁碰撞時的速度大小；
（3）假設長木板與木樁和圓弧軌道間的每一次碰撞過程都不損失機械能，為使小物塊不滑出長木板，木板的長度至少為多少？

Answer 1

分析 （1）物塊從A到B的過程中，物塊只在重力的作用下運動，機械能守恒，有機械能守恒可以求得到達B時的速度的大��；
（2）小物塊在長木板上運動的過程中，系統(tǒng)不受其他外力的作用，所以系統(tǒng)的動量守恒，有動量守恒定律可以求得長木板的速度的大��；
（3）小物塊不滑出長木板，則小物塊和長木板的動能都克服摩擦力做功，轉化成系統(tǒng)的內能，根據能量的守恒可以求得木板的長度．

解答 解：（1）小物塊落到圓弧上的B點，B、A兩點關于O點對稱，則：AB=R，
根據機械能守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²，
解得：v_B=$\sqrt{2gR}$=4m/s，
所以小物塊運動到B點時的速度大小為4m/s．
（2）小物體到達B點后沿切線方向的分速度：v_B切=v_Bcosθ，
解得：v_B切=2$\sqrt{3}$m/s，
小物體從B點到C點，機械能守恒，去圓弧最低點C為重力勢能的零點，
由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_B切²+mgR（1-sinθ）=$\frac{1}{2}$mv_C²，
解得：v_C=2$\sqrt{5}$m/s，
設長木板第一次與木樁碰撞之前，小物塊與長木板的速度相同，系統(tǒng)的動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得：
mv_C=（M+m）v，
解得：v=$\frac{\sqrt{5}}{2}$m/s，
對長木板，由動能定理得：μmgs=$\frac{1}{2}$Mv²，
解得：s=$\frac{5}{8}$m＜1m
假設成立，即長木板第一次與木樁碰撞時，速度的大小為$\frac{\sqrt{5}}{2}$m/s．
（3）長木板第一次由于木樁碰撞反彈后，以向右為正方向，根據動量守恒定律得：
Mv-mv=（M+m）v′，
解得：v′=$\frac{\sqrt{5}}{4}$m/s，
由能量守恒定律得：μmgL=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$（m+M）v′²，
解得：L=$\frac{25}{8}$m=3.125m，所以木板的長度至少為3.125m；
答：（1）小物塊運動到B點時的速度大小為4m/s；
（2）長木板第一次與木樁碰撞時的速度大小為$\frac{\sqrt{5}}{2}$m/s；
（3）木板的長度至少為3.125m．

點評 物體與斜面碰撞時，損失了物體沿半徑方向的速度，所以在物體與斜面碰撞后，物體的速度要變化．本題考查了機械能守恒還有動量守恒，同時還有摩擦力做功轉化為系統(tǒng)內能的問題，涉及的知識點較多，對學生的能力要求較強．