Question

5．如圖所示，水平放置的圓錐體軸截面頂角為2θ，均勻彈性繩圈原長為l，質(zhì)量為m，勁度系數(shù)為k（繩圈伸長x時(shí)，繩中張力為kx）．將繩圈從圓錐體的正上方套放到圓錐體上，并用手扶著繩圈保持水平圓環(huán)狀，沿錐面向下推動(dòng)，放手時(shí)，繩圈恰好處于力平衡狀態(tài)A，此時(shí)繩圈伸長至L長度．若隨后給繩圈一個(gè)沿錐面的極小擾動(dòng)，繩圈會(huì)沿錐面向上稍作移動(dòng)．設(shè)繩圈與圓錐面間的靜摩擦因數(shù)為μ（靜摩擦因數(shù)為μ=f_max/N，其中f_max為最大靜摩擦力，N為正壓力）．求：
（1）靜摩擦因數(shù)μ的表達(dá)式；
（2）繩圈處于力平衡狀態(tài)A時(shí)繩圈受到的摩擦力．
（注：要求答案中所涉及的物理量要與題中所對(duì)應(yīng)的物理量的符號(hào)相一致）

Answer 1

分析 （1）分析繩上的一小段，因受小擾動(dòng)會(huì)向上做極小運(yùn)動(dòng)，此時(shí)該小段所受到的靜摩擦力為最大值且沿錐面向下．分析該小段的受力，運(yùn)用正交分解法列出平衡方程，結(jié)合最大靜摩擦力公式求解．
（2）利用對(duì)稱性在繩圈直徑處兩小段，其水平方向相互抵消，垂直方向相加，則繩圈總的摩擦力豎直向下，由平衡條件求解．

解答 解：（1）分析繩上小段，張力的合力指向繩圈圓心，大小為Tα，把此段受力分解為錐面法向和錐線方向，小段質(zhì)量為△m，因受小擾動(dòng)會(huì)向上做極小運(yùn)動(dòng)，此時(shí)所受到的靜摩擦力為最大值且沿錐面向下．
根據(jù)平衡條件得：
法線方向有：N-△mgsinθ-Tαcosθ=0
沿錐線方向有：△mgcosθ-Tαsinθ+μN(yùn)=0
又△m=ρRα=m$\frac{α}{2π}$，Tα=k（L-l）α
解得：μ=$\frac{2πk（L-l）sinθ-mgcosθ}{mgsinθ+2πk（L-l）cosθ}$．
（2）利用對(duì)稱性在繩圈直徑處兩小段，其水平方向相互抵消，垂直方向相加，則繩圈總的摩擦力豎直向下，大小為  f=μN(yùn)cosθ
解得 f=2πk（L-l）sinθ cosθ-mgcos²θ
答：
（1）靜摩擦因數(shù)μ的表達(dá)式為μ=$\frac{2πk（L-l）sinθ-mgcosθ}{mgsinθ+2πk（L-l）cosθ}$；
（2）繩圈處于力平衡狀態(tài)A時(shí)繩圈受到的摩擦力為2πk（L-l）sinθ cosθ-mgcos²θ．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要把握物體剛要滑動(dòng)的臨界條件：靜摩擦力達(dá)到最大值，采用微元法分析圓圈的受力情況，結(jié)合平衡條件研究．