Question

在光滑水平面上方的空間內(nèi)有一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)，其方向沿水平面向右，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，如圖所示．水平面上有兩個(gè)靜止的小球A和B（均可視為質(zhì)點(diǎn)），兩小球的質(zhì)量均為m，A球帶電量為+q，B球不帶電．開始時(shí)兩球相距L，在電場(chǎng)力的作用下，A球開始沿水平面向右運(yùn)動(dòng)，并與B球發(fā)生碰撞．每次碰撞后A、B兩球速度互換（碰撞時(shí)沒有能量損失），碰撞時(shí)A、B兩球間無電荷轉(zhuǎn)移，不考慮兩球間的萬有引力，不計(jì)碰撞時(shí)間．問：
（1）A球經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間與B球發(fā)生第一次碰撞？
（2）再經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間A球與B球發(fā)生第n次碰撞？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律求出A球的加速度，結(jié)合位移時(shí)間公式求出A球與B球碰撞所經(jīng)歷的時(shí)間．
（2）碰撞后，速度交換，B球做勻速直線運(yùn)動(dòng)，A球由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，抓住位移相等，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出到第二次碰撞所經(jīng)歷的時(shí)間，以及碰撞時(shí)的速度，碰撞后，速度再次交換，B球做勻速直線運(yùn)動(dòng)，A球做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，繼續(xù)結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律求出追及的時(shí)間和碰撞時(shí)的速度，找出對(duì)應(yīng)的規(guī)律，求出A球與B球發(fā)生第n次碰撞所需的時(shí)間．

解答：解：（1）B球不帶電，靜止不動(dòng)．A球在電場(chǎng)力作用下向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其對(duì)地位移等于L時(shí)，A、B兩球發(fā)生第一次碰撞．
對(duì)A球，由牛頓第二定律：Eq=ma
A球的位移：L=

1

2

at₁²
所以A、B兩球發(fā)生第一次碰撞所用時(shí)間為：t₁=

2mL Eq

（2）①A、B兩球第一次相碰后，A、B兩球交換速度，設(shè)再經(jīng)△t₁的時(shí)間A、B第二次相碰，則相碰時(shí)它們對(duì)地位移相等．
A球做勻加速運(yùn)動(dòng)，其位移為xA1=

1

2

a△t12
相碰前A球的速度為；v₁=at₁
B球做勻速運(yùn)動(dòng)，其位移為x_B1=v₁△t₁
解得△t₁=2t₁
所以從A球開始運(yùn)動(dòng)到與 B球發(fā)生第二次碰撞，所用時(shí)間為t′
t′=t1+△t1=3t1=3

2mL Eq

．
第二次碰撞前A的速度為v₂=a△t₁=2v₁．
②A、B兩球第二次相碰后，A、B兩球交換速度，設(shè)再經(jīng)△t₃時(shí)間A、B第三次相碰，則相碰時(shí)它們對(duì)地位移相等．
A球做勻加速運(yùn)動(dòng)，其位移為x_A2=v₁△t₃+

1

2

a△t₃²
B球做勻速運(yùn)動(dòng)，其位移為x_B2=v₂△t₃
解得△t₃=△t₂=2 t₁
所以從A球開始運(yùn)動(dòng)到與B球發(fā)生第三次碰撞，所用時(shí)間為：
t″=t1+△t1+△t2=5t1=5

2mL Eq

③根據(jù)A、B兩球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，作出如圖所示的v-t圖線，由圖線知，
A球與B球發(fā)生第n次碰撞所用的時(shí)間為：
tn=(2n-1)

2mL Eq

．
答：（1）A球經(jīng)過

2mL Eq

與B球發(fā)生第一次碰撞．
（2）再經(jīng)過tn=(2n-1)

2mL Eq

A球與B球發(fā)生第n次碰撞．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵理清小球的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．