Question

13．一平行板電容器的兩個(gè)極板ab、cd正對(duì)豎直放置，如圖所示，極板長(zhǎng)為L(zhǎng)．現(xiàn)有一電荷量大小為q、質(zhì)量為m的帶電質(zhì)點(diǎn)P自緊靠ab板內(nèi)側(cè)的某點(diǎn)以大小為v的初速度豎直向上射出，然后以速度v從cd板的上端c處水平進(jìn)入cd板右側(cè)的正交電場(chǎng)、磁場(chǎng)中并恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；當(dāng)帶電質(zhì)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到cd板上小孔O處時(shí)，有另一帶電質(zhì)點(diǎn)Q由靜止釋放，P、Q兩帶電質(zhì)點(diǎn)在小孔處發(fā)生正碰，已知Q的質(zhì)量為$\frac{m}{3}$，碰撞前Q的電性與P相同且電荷量大小為$\frac{q}{2}$，碰撞時(shí)滿足m_pv_p0=m_pv_p+m_Qv_Q，其中v_p0為質(zhì)點(diǎn)P碰前速度，v_p、v_Q分別為p、Q碰后瞬間速度．碰撞后Q運(yùn)動(dòng)到ab板內(nèi)側(cè)的最下端b處時(shí)仍以大小為v的速度豎直離開(kāi)電容器．忽略平行板電容器兩端電場(chǎng)的邊緣效應(yīng)，重力加速度為g．求：
（1）電容器兩板間的電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大��；
（3）帶電質(zhì)點(diǎn)P最后離開(kāi)平行板電容器時(shí)的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）將帶電質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小．
（2）根據(jù)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的半徑公式，結(jié)合幾何關(guān)系得出半徑的大小，從而求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．
（3）結(jié)合動(dòng)量守恒定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出P、Q的電量和碰后的速度，根據(jù)P質(zhì)點(diǎn)在電容器中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出離開(kāi)電容器的速度．

解答 解：（1）設(shè)P從出發(fā)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至c階段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．其中水平加速度為a_x，則在水平方向上有：
：a_x=$\frac{qE}{m}$…①
v=a_xt=$\frac{qE}{m}$t…②
在豎直方向上有：0-v=-gt…③
t=$\frac{{v}_{0}}{g}$…④
聯(lián)立①②③得：E=$\frac{mg}{q}$…⑤
（2）設(shè)電容器兩極板間的距離為d．
對(duì)P從出發(fā)點(diǎn)至c階段，在水平方向上有：d=$\frac{v+0}{2}$…⑥
聯(lián)立④⑥解得d=$\frac{{v}^{2}}{2g}$…⑦
設(shè)在正交電場(chǎng)、磁場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)P做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，則
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
R=$\frac{mv}{qB}$…⑧
又2R+d=l…⑨
聯(lián)立⑦⑧⑨得：B=$\frac{4mgv}{q（2gl-{v}^{2}）}$
（3）設(shè)P、Q碰撞后的速度分別為v₁、v₂．
由動(dòng)量守恒定律得，mv=mv₁+$\frac{m}{3}$v₂
設(shè)碰撞后P、Q帶電量大小分別為q₁、q₂，則q₁+q₂=$\frac{3}{2}$q
碰撞后Q在水平方向上有：d=$\frac{{v}_{2}+0}{2}$t
可得：v₂=v  v₁=$\frac{2}{3}$v
0-v₂²-2$\frac{{q}_{2}E}{\frac{m}{3}}$d
得：q₁=$\frac{7}{6}$q  q₂，=$\frac{q}{3}$
則碰撞后P在水平方向上的加速度a_x=$\frac{{q}_{1}E}{m}$=$\frac{7}{6}$g
它在電容器中間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間仍為t，設(shè)P射出電容器時(shí)其水平速度為v_x，
則v_x=v₁-a_xt=-$\frac{1}{2}$v
則P射出電容器時(shí)的速度為v_p，
v_p=$\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{v}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$v．
答：（1）電容器兩板間的電場(chǎng)強(qiáng)度為$\frac{mg}{q}$．
（2）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\frac{4mgv}{q（2gl-{v}^{2}）}$．
（3）帶電質(zhì)點(diǎn)P最后離開(kāi)平行板電容器時(shí)的速度大小為$\frac{\sqrt{5}}{2}$v．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)量守恒定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，關(guān)鍵理清質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，選擇合適的公式進(jìn)行求解，注意運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的靈活運(yùn)用．