Question

（2013?重慶二模）為了獲得一束速度大小確定且方向平行的電子流，某人設(shè)計(jì)了一種實(shí)驗(yàn)裝置，其截面圖如圖所示．其中EABCD為一接地的金屬外殼．在A處有一粒子源，可以同時(shí)向平行于紙面的各個(gè)方向射出大量的速率不等的電子．忽略電子間的相互作用力，這些電子進(jìn)入一垂直于紙面向里的圓形區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)后，僅有一部分能進(jìn)入右側(cè)的速度選擇器MNPQ．已知圓形磁場(chǎng)半徑為R；速度選擇器的MN和PQ板都足夠長，板間電場(chǎng)強(qiáng)度為E（圖中未畫出電場(chǎng)線），勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于紙面向里大小為B₂，電子的電荷量大小為e，質(zhì)量為m．調(diào)節(jié)圓形區(qū)域磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小，直到有電子從速度選擇器右側(cè)射出．求：
（1）速度選擇器的MN板帶正電還是負(fù)電？能從速度選擇器右側(cè)射出的電子的速度v₀大小、方向如何？
（2）是否所有從粒子源A處射出并進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大小為（1）問中v₀的電子，最終都能從速度選擇器右側(cè)射出？若能，請(qǐng)簡要證明，并求出圓形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小；若不能，請(qǐng)說明理由．（不考慮電子“擦”到金屬板的情形以及金屬板附近的邊界效應(yīng)）
（3）在最終能通過速度選擇器的電子中，從圓形區(qū)域磁場(chǎng)出射時(shí)距AE為d=

R

2

的電子在圓形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)了多長時(shí)間？

Answer 1

分析：（1）電子從左側(cè)進(jìn)入，能從右側(cè)射出的電子，所受洛倫茲力與電場(chǎng)力平衡，根據(jù)洛倫茲力的方向可以判定電場(chǎng)力的方向，從而得到極板的帶電情況；
（2）當(dāng)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=R時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系可以證明粒子運(yùn)動(dòng)軌跡確定粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)角度與水平方向的夾角相等，即只要以v₀進(jìn)入磁場(chǎng)后都能以水平方向速度進(jìn)入速度選擇器，故根據(jù)半徑關(guān)系可以求出B₁的大�。�
（3）作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在圓形磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過的圓心角，根據(jù)t=

θ

2π

T求時(shí)間即可．

解答：解：（1）能通過速度選擇器的電子都滿足電場(chǎng)力和洛倫茲力平衡的粒子才可以通過速度選擇器，即能過速度選擇器的電子具有水平向右的速度，根據(jù)左手定則可以判定電子所受洛倫力方向豎直向下，故電場(chǎng)力方向豎直向上，從而確定MN板帶正電．
在速度選擇器中：
eE=ev₀B₂
∴v0=

E

B2

，方向平行于MN向右
（2）所有以速度v₀進(jìn)入磁場(chǎng)的電子，都能從速度選擇器右側(cè)射出
如圖為從圓形磁場(chǎng)在側(cè)圓弧上任意一點(diǎn)F向右射出速度大小為v₀的電子運(yùn)動(dòng)軌跡

由幾何知識(shí)易證：∠O₁FA=∠OAF=∠OFA
故平行四邊形AOFO₁ 為菱形，O₁F=OF
即所有向右平行于MN射出磁場(chǎng)的電子，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑都等于圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑．只要速度大小為v₀，其圓周運(yùn)動(dòng)的半徑就等于磁場(chǎng)區(qū)域半徑，都能向右射出磁場(chǎng)，并最終通過速度選擇器．
r=R
r=

mv

eB1

∴B1=

mv

eR

=

mE

eRB2

（3）如圖，

由幾何關(guān)系：O₁F=R，d=

R

2

可得：AF=R
即粒子在圓形磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的圓心角∠AO₁F=60°
粒子在B₁的磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πm

eB1

=

2πm

e mE eRB2

=

2πRB2

E

粒子在圓形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

θ

2π

T=

1

6

T=

πRB2

3E

答：（1）速度選擇器的MN板帶正電，能從速度選擇器右側(cè)射出的電子的速度v₀大小為v0=

E

B2

方向水平向右．
（2）若圓形區(qū)域的磁場(chǎng)滿足B1=

mv

eR

=

mE

eRB2

，則所有從粒子源A處射出并進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大小為（1）問中v₀的電子，都最終都能從速度選擇器右側(cè)射出．
（3）在最終能通過速度選擇器的電子中，從圓形區(qū)域磁場(chǎng)出射時(shí)距AE為d=

R

2

的電子在圓形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)了的時(shí)間為：

πRB2

3E

．

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，重點(diǎn)要把握好“找圓心、求半徑”，注意畫出草圖，同時(shí)利用好幾何關(guān)系去分析粒子的運(yùn)動(dòng)過程．