Question

15．深空探測器“探路者”號宇宙飛船在宇宙深處飛行的過程中，發(fā)現甲、乙兩顆均勻球形天體，兩天體各有一顆靠近其表面飛行的衛(wèi)星，測得兩顆衛(wèi)星的周期相等，以下判斷正確的是（　�。�

• A． 天體甲、乙的質量一定不相等
• B． 兩顆衛(wèi)星的線速度一定相等
• C． 天體甲、乙的密度一定相等
• D． 天體甲、乙表面的重力加速度之比等于它們半徑的反比

Answer 1

分析 衛(wèi)星繞球形天體運動時，由萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律和萬有引力定律得出天體的質量與衛(wèi)星周期的關系式，再得出天體密度與周期的關系式，然后進行比較．

解答 解：A、設A、B中任決意球形天體的半徑為R，質量為M，衛(wèi)星的質量為m，周期為T．則由題意，衛(wèi)星靠近天體表面飛行，衛(wèi)星的軌道半徑約等于天體的半徑，則有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}R}{{T}^{2}}$，
得：M=$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$，
T相等，R可能相等，所以天體A、B的質量可能相等．故A錯誤．
B、衛(wèi)星的線速度為v=$\frac{2πR}{T}$，T相等，而R不一定相等，線速度不一定相等．故B錯誤．
C、天體的密度為ρ=$\frac{M}{V}$，
聯立得到ρ=$\frac{3π}{{GT}^{2}}$，可見，ρ與天體的半徑無關，由于兩顆衛(wèi)星的周期相等，則天體A、B的密度一定相等．故C正確．
D、天體A、B表面的重力加速度等于衛(wèi)星的向心加速度，即g=a=$\frac{{4π}^{2}R}{{T}^{2}}$，可見天體A、B表面的重力加速度之比等于它們的半徑正比．故D錯誤．
故選：C

點評 本題是衛(wèi)星繞行星運動的問題，要建立好物理模型，采用比例法求解．要熟練應用萬有引力定律、圓周運動的規(guī)律結合處理這類問題．