Question

4．如圖甲所示，一足夠長(zhǎng)阻值不計(jì)的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ之間的距離L=0.5m，NQ兩端連接阻值R=2.0Ω的電阻，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌所在平面向上，導(dǎo)軌平面與水平面間的夾角θ=30⁰．一質(zhì)量m=0.40kg，阻值r=1.0Ω的金屬棒垂直于導(dǎo)軌放置并用絕緣細(xì)線通過光滑的定滑輪與質(zhì)量M=0.80kg的重物相連．細(xì)線與金屬導(dǎo)軌平行．金屬棒沿導(dǎo)軌向上滑行的速度v與時(shí)間t之間的關(guān)系如圖乙所示，已知金屬棒在0～0.3s內(nèi)通過的電量是0.3～0.6s內(nèi)通過電量的$\frac{2}{3}$，g=10m/s²，求：
（1）0～0.3s內(nèi)棒通過的位移；
（2）金屬棒在0～0.6s內(nèi)產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （（1）金屬棒在0.3～0.6s內(nèi)通過的電量是q₁=I₁t₁=$\frac{BLv{t}_{1}}{R+r}$，t₁=0.3s．金屬棒在0～0.3s內(nèi)通過的電量q₂=$\frac{△Φ}{R+r}$=$\frac{BL{x}_{2}}{R+r}$，由已知條件：金屬棒在0～0.3s內(nèi)通過的電量是0.3～0.6s內(nèi)通過電量的$\frac{2}{3}$，求出0～0.3s內(nèi)棒通過的位移x₂．
（2）金屬棒在0～0.6s內(nèi)通過的總位移為x=x₁+x₂=vt₁+x₂，在此過程中，重物的重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為金屬棒的重力勢(shì)能、內(nèi)能和系統(tǒng)的動(dòng)能，根據(jù)能量守恒定律求解整個(gè)電路產(chǎn)生的熱量Q．由于金屬棒與電阻R串聯(lián)，它們產(chǎn)生的熱量與電阻成正比，金屬棒產(chǎn)生的熱量Q_r=$\frac{r}{r+R}$Q．

解答 解：（1）金屬棒在0.3～0.6s內(nèi)通過的電量是 q₁=I₁t₁=$\frac{BLv{t}_{1}}{R+r}$
金屬棒在0～0.3s內(nèi)通過的電量 q₂=$\frac{△Φ}{R+r}$=$\frac{BL{x}_{2}}{R+r}$
由題中的電量關(guān)系 $\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}$=$\frac{3}{2}$
代入解得：x₂=0.7m
（2）金屬棒在0～0.6s內(nèi)通過的總位移為 x=x₁+x₂=vt₁+x₂
代入解得 x=1.15m
根據(jù)能量守恒定律得
   Mgx-mgxsinθ=Q+$\frac{1}{2}$（m+M）v²
代入解得  Q=3.15J
由于金屬棒與電阻R串聯(lián)，電流相等，根據(jù)焦耳定律Q=I²Rt，得知它們產(chǎn)生的熱量與電阻成正比
所以金屬棒在0～0.6s內(nèi)產(chǎn)生的熱量 Q_r=$\frac{r}{r+R}$Q=$\frac{1}{1+2}$×3.15J=1.05J
答：（1）0～0.3s內(nèi)棒通過的位移為0.7m；
（2）金屬棒在0～0.6s內(nèi)產(chǎn)生的熱量為1.05J．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)中能量問題，要能熟練推導(dǎo)感應(yīng)電量的表達(dá)式q=$\frac{△Φ}{R+r}$，搞清能量是如何轉(zhuǎn)化的．容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤是把整個(gè)回路產(chǎn)生的熱量Q當(dāng)成金屬棒產(chǎn)生的熱量．