Question

（2009?寧波模擬）如圖，空間XOY的第一象限存在垂直XOY平面向里的勻強磁場，第四象限存在平行該平面的勻強電場（圖中未畫出）；OMN是一絕緣彈性材料制成的等邊三角形框架，邊長L為4m，OM邊上的P處開有一個小孔，OP距離為1m．現(xiàn)有一質量m為1×10^-18kg，電量q為1×10^-15C的帶電微粒（重力不計）從Y軸上的C點以速度 V₀=1×10²m/s平行X軸射入，剛好可以垂直X軸從點P進入框架，CO距離為2m．粒子進入框架后與框架發(fā)生若干次垂直的彈性碰撞，碰撞過程中粒子的電量和速度大小均保持不變，速度方向與碰前相反，最后粒子又從P點垂直X軸射出，求：
（1）所加電場強度的大小；
（2）所加磁場磁感應強度大小；
（3）求在碰撞次數(shù)最少的情況下，該微粒回到C點的時間間隔．

Answer 1

分析：（1）將粒子的運動分解成水平方向的勻減速運動和豎直向上的勻加速運動，分別使用運動學的公式求出粒子的加速度，然后求出電場強度；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，其半徑R=

mv

qB

，若粒子又從P點垂直X軸射出則滿足（1+2n）R=OP，代人數(shù)據(jù)即可求得結果．
（3）當粒子與框架碰撞次數(shù)最少，知粒子在磁場中的運動半徑等于OP的長度，結合幾何關系求出粒子在磁場中運動的圈數(shù)，從而得出在磁場中的運動時間，抓住勻變速直線運動的平均速度公式，根據(jù)等時性求出在電場中的運動時間，從而得出微粒回到C點的時間間隔．

解答：解：粒子在勻強電場中運動時，在X軸方向上的位移為1m．
根據(jù)速度位移公式有：

V

2 0

=2aXSX
代入數(shù)據(jù)得，（1×10²）²=2a_X×1
解得aX=5×103m/s2
因為

VY

2

t=OC，

Vx

2

t=OP，
粒子到達P點時速度為：VY=2VX=2V0=2×102m/s
aY=2aX=1×104m/s
粒子的加速度為a=5

5

×103m/s2
E=

ma

q

=5

5

V/m．
（2）設粒子在框架內的圓周運動半徑為R
由分析可知（1+2n）R=OP
解得：R=

1

1+2n

m(n=0，1，2，3…)
由R=

mv

qB

得
則B=

mv

qB

=

1+2n

5

T（n=0，1，2，3…）
（3）設從C到P運動的時間為t₀
碰撞次數(shù)最小的情況下在磁場中運動的周期為T，如圖所示，在磁場中運動了2周．
從C到P的時間t0=

OP

( V0 2 )

=

1

50

=2×10-2s．
T=

2πm

qB

=3.14×10-2s．
在電場中的運動時間t1=2t0=4×10-2s．
在磁場中運動的時間t2=2T=6.28×10-2s．
回到C點的時間t_總=0.1028s．
答：（1）所加電場強度的大小為5

5

V/m．
（2）所加磁場磁感應強度大小為

1+2n

5

T（n=0，1，2，3…）．
（3）微粒回到C點的時間間隔為0.1028s．

點評：該題是組合場問題，對數(shù)學幾何能力的要求較高，抓�。�1+2n）R=OP 是解決該題的關鍵．該題的難度較大．