Question

19．如圖所示，光滑水平面AB與一半圓形軌道在B點(diǎn)相連，軌道位于豎直面內(nèi)，其半徑為R，一個(gè)質(zhì)量為m的物塊靜止在水平面上，現(xiàn)向左推物塊使其壓緊彈簧，然后放手，物塊在彈力作用下獲得一速度，當(dāng)它經(jīng)B點(diǎn)進(jìn)入半圓軌道瞬間，對(duì)軌道的壓力為其重力的7倍，之后向上運(yùn)動(dòng)恰能完成半圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)，重力加速度為g．求：
（1）開(kāi)始時(shí)彈簧所具有的彈性勢(shì)能；
（2）物塊從B到C克服阻力的功
（3）物塊離開(kāi)C點(diǎn)后，再落回到水平面上時(shí)速度的大��？

Answer 1

分析 （1）物塊在B點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可以求出到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度，然后由能量守恒定律可以求出開(kāi)始時(shí)彈簧所具有的彈性勢(shì)能；
（2）物體恰能通過(guò)最高點(diǎn)，故說(shuō)明此時(shí)重力恰好充當(dāng)向心力，由向心力公式可得出C點(diǎn)的速度；由動(dòng)能定理可以求出克服摩擦力所做的功．
（3）物體離開(kāi)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可求得物體落回到水平面上經(jīng)過(guò)的水平距離．

解答 解：（1）物塊在B點(diǎn)時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$…①
由牛頓第三定律得：F=F′=7mg…②
解得：v_B=$\sqrt{6gR}$
彈簧釋放過(guò)程彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為物塊的動(dòng)能，則由能量守恒定律，開(kāi)始時(shí)彈簧所具有的彈性勢(shì)能為：
E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=3mgR；
（2）物塊恰能完成圓運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)，在C點(diǎn)由牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
物塊在C點(diǎn)的速度：v_C=$\sqrt{gR}$…③
從B到C過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
 W_f-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B²…④
由①②③④解得：W_f=-$\frac{1}{2}$mgR，
則克服摩擦力做功為 $\frac{1}{2}$mgR；
（3）物塊離開(kāi)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，
在豎直方向上：2R=$\frac{1}{2}$gt²，t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
落地時(shí)豎直分速度為：v_y=gt=2$\sqrt{gR}$
速度大小為：v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{5gR}$；
答：（1）開(kāi)始時(shí)彈簧所具有的彈性勢(shì)能是3mgR；
（2）物塊從B到C克服阻力的功為$\frac{1}{2}$mgR；
（3）物塊離開(kāi)C點(diǎn)后，再落回到水平面上時(shí)速度的大小為$\sqrt{5gR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題可分為彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能、動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能及平拋三個(gè)過(guò)程，三個(gè)過(guò)程中機(jī)械能均守恒，正確利用好機(jī)械能守恒定律即可正確求解．