Question

13．如圖所示，光滑導(dǎo)軌EF、GH等高平行放置，EG間寬度為FH同寬度的3倍，導(dǎo)軌右側(cè)水平且處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場中，左側(cè)呈弧形升高，ab、cd是完全相同的金屬棒，質(zhì)量均為m，現(xiàn)讓ab從離水平軌道h高處由靜止下滑，設(shè)導(dǎo)軌足夠長，重力加速度為g．試求：

（1）ab、cd棒的最終速度；
（2）全過程中感應(yīng)電流在cd棒上產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）若導(dǎo)軌F、H端間距為l，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，棒的電阻均為R，求
①整個(gè)過程通過cd棒的電荷量．
②cd棒由靜止開始運(yùn)動到速度穩(wěn)定過程運(yùn)動的位移大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理解出金屬棒剛剛到達(dá)磁場時(shí)的速度；然后ab棒開始減速，cd棒開始加速，ab、cd兩棒產(chǎn)生的電動勢方向相反，導(dǎo)致總電動勢減小，但是總電動勢還是逆時(shí)針方向，所以cd繼續(xù)加速，ab繼續(xù)減速，直到ab、cd產(chǎn)生的電動勢大小相等，相互抵消，此時(shí)電流為零，兩棒不再受安培力，均做勻速直線運(yùn)動．
（2）根據(jù)系統(tǒng)的能量守恒，列式得到回路中產(chǎn)生的總熱量，再求解cd棒上產(chǎn)生的熱量．
（3）金屬棒由靜止釋放到加速到最大速度的過程中通過導(dǎo)體棒的電量是q=$\overline{I}$t，求出電量，結(jié)合導(dǎo)體棒動量的改變是△P=+B$\overline{I}$L•t即可求出電量與棒cd的位移．

解答 解：（1）設(shè)ab，cd棒的長度分別為3L和L，磁感強(qiáng)度為B，abP棒進(jìn)入水平軌道的速度為v，
對于ab棒，金屬棒下落h過程應(yīng)用動能定理：mgh=$\frac{1}{2}$mv²，
解得P棒剛進(jìn)入磁場時(shí)的速度為：v=$\sqrt{2gh}$
當(dāng)P棒進(jìn)入水平軌道后，切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流．P棒受到安培力作用而減速，Q棒受到安培力而加速，Q棒運(yùn)動后也將產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，與P棒感應(yīng)電動勢反向，因此回路中的電流將減�。�最終達(dá)到勻速運(yùn)動時(shí)，回路的電流為零，
所以：E_a=E_c
即：3BLv_a=BLv_c
得 3v_a=v_c
因?yàn)楫?dāng)ab，cd在水平軌道上運(yùn)動時(shí)，它們所受到的合力并不為零．F_a=3BIL，F(xiàn)_c=BIL（設(shè)I為回路中的電流），因此ab，cd組成的系統(tǒng)動量不守恒．
設(shè)ab棒從進(jìn)入水平軌道開始到速度穩(wěn)定所用的時(shí)間為△t，
對ab，cd分別應(yīng)用動量定理得：
-F_a△t=-3BIL△t=mv_a-mv ①
F_c△t=BIL△t=mv_c-0 ②
3v_a=v_c ③
解得：${v}_{a}=\frac{1}{10}\sqrt{2gh}$，${v}_{c}=\frac{3}{10}\sqrt{2gh}$
（2）根據(jù)能量守恒定律得回路產(chǎn)生的總熱量為 Q=mgh-$\frac{1}{2}m{v}_{a}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$
聯(lián)立得：Q=$\frac{9}{10}$mgh
cd棒上的熱量是回路總熱量的$\frac{1}{4}$．即為Q_c=$\frac{1}{4}$Q=$\frac{9}{40}mgh$
（3）只受到豎直方向的重力、支持力和水平方向的安培力的作用，沿水平方向上由動量定理得：
BIl•△t=△mv_c
金屬棒cd由靜止釋放到加速到最大速度的過程中通過導(dǎo)體棒的電量是q=$\overline{I}$△t，
所以：$q=\frac{△m{v}_{c}}{Bl}$=$\frac{3m•\sqrt{2gh}}{10Bl}$，
而：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{{R}_{總}}$
$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}=\frac{B△S}{△t}=\frac{B•lx}{△t}$
${R}_{總}=R+\frac{1}{3}R=\frac{4}{3}R$
所以：$x=\frac{\overline{I}{R}_{總}△t}{Bl}=\frac{q{R}_{總}}{Bl}$=$\frac{mR\sqrt{2gh}}{5{B}^{2}{l}^{2}}$
答：（1）ab棒和cd棒的最終速度分別為$\frac{1}{10}$$\sqrt{2gh}$和$\frac{3}{10}$$\sqrt{2gh}$；
（2）cd棒產(chǎn)生的熱量為$\frac{9}{40}mgh$
（3）①整個(gè)過程通過cd棒的電荷量是$\frac{3m•\sqrt{2gh}}{10Bl}$．
②cd棒由靜止開始運(yùn)動到速度穩(wěn)定過程運(yùn)動的位移大小是$\frac{mR\sqrt{2gh}}{5{B}^{2}{l}^{2}}$．

點(diǎn)評 運(yùn)用動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律之前，要判斷題目所給的過程是否滿足守恒的條件．動量守恒的條件是：系統(tǒng)所受的合外力為零，或者是在某一方向上所受的合外力為零，則系統(tǒng)在該方向上動量的分量守恒．