Question

12．某星球A半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，同步衛(wèi)星運(yùn)行在距其表面高為h的軌道上，萬有引力常數(shù)為G．
（1）求星球A的質(zhì)量；
（2）若另一星球B的半徑是星球A的兩倍，密度與A相同，求星球B的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）同步衛(wèi)星運(yùn)行時，由萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解星球A的質(zhì)量．
（2）星球B的第一宇宙速度是衛(wèi)星繞星球B表面運(yùn)行時的速度，根據(jù)萬有引力等于向心力求解．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力，得：
G$\frac{{M}_{A}m}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h）
解得星球A的質(zhì)量為：
M_A=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）根據(jù)題意，星球B與A的密度相同有：
$\frac{{M}_{A}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{{M}_{B}}{\frac{4}{3}π{R}_{B}^{3}}$
半徑關(guān)系為：R_B=2R
設(shè)星球B的第一宇宙速度為v．則有：
G$\frac{{M}_{B}m}{{R}_{B}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{B}}$
聯(lián)立解得：v=$\frac{2π（R+h）}{T}$$\sqrt{\frac{R+h}{R}}$
答：（1）星球A的質(zhì)量是$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）星球B的第一宇宙速度為$\frac{2π（R+h）}{T}$$\sqrt{\frac{R+h}{R}}$．

點(diǎn)評 解答此題的關(guān)鍵是要知道同步衛(wèi)星的向心力由萬有引力提供，要注意衛(wèi)星的軌道半徑與高度是不同的，不能搞混．