Question

12．如圖所示，在真空中，半徑為b的虛線所圍的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁場的磁感應強度為B，磁場方向垂直紙面向外（未畫出）．在磁場右側(cè)有一對平行金屬板M和N，兩板間距離為b，板長為2b，兩板的中心線O₁O₂與磁場區(qū)域的圓心O在同一直線上，兩板左端與O₁在同一豎直線上．有一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶電粒子，以某一速度從圓周上的P點沿垂直于半徑并指向圓心OO₁的方向進入磁場，當從圓周上的O₁點飛出磁場時，給M、N板加上如右圖所示的交變電壓．最后粒子剛好以平行于N板的速度從N板的邊緣飛出．（不計平行金屬板兩端的邊緣效應及粒子所受的重力）

（l）求帶電粒子的電性及進入磁場P點時的速率v₀；
（2）求交變電壓的周期T和電壓U₀的值；
（3）若t=0時，將該粒子從MN板右側(cè)沿板的中心線O₂O₁，仍以原速率v₀射入M、N之間，求粒子在磁場中運動的時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子的偏轉(zhuǎn)，通過左手定則確定粒子的電性，根據(jù)粒子在磁場中的運動半徑，結(jié)合半徑公式求出進入磁場P點的速度．
（2）粒子在電場中，垂直電場方向做勻速直線運動，沿電場方向受到周期性變化的電場力，結(jié)合牛頓第二定律和運動學公式求出周期和交變電壓的表達式．
（3）當該粒子恰好從N板邊緣以平行于極板的速度射入磁場，且進入磁場的速度仍為v₀，運動的半徑仍為b，作出粒子的運動軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合周期公式進行求解．

解答 解：（1）粒子自P點進入磁場，從O₁點水平飛出磁場，則粒子必帶正電．
運動的半徑必為b，則$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}$，
解得${v}_{0}=\frac{Bbq}{m}$．
（2）粒子自O(shè)₁點進入電場，最后恰好從N板的邊緣平行飛出，設(shè)運動時間為t，則
2b=v₀t，
$\frac{2}=n•2•\frac{1}{2}•\frac{q{U}_{0}}{mb}（\frac{T}{2}）^{2}$，
t=nT，（n=1，2，3…）
解得T=$\frac{2m}{nqB}$ （n=1，2，3，…）
${U}_{0}=\frac{Nq^{2}{B}^{2}}{2m}$（n=1，2，3，…）
（3）當該粒子恰好從N板邊緣以平行于極板的速度射入磁場，且進入磁場的速度仍為v₀，運動的半徑仍為b，設(shè)進入磁場的點為Q，離開磁場的點為R，圓心為O₃，如圖所示，四邊形OQO₃R是菱形，故$∠Q{O}_{3}R=\frac{2π}{3}$．
則運動的時間$t=\frac{T}{3}=\frac{2πm}{3qB}$．
答：（1）帶電粒子的電性及進入磁場P點時的速率為$\frac{Bbq}{m}$；
（2）交變電壓的周期T和電壓U₀的值為${U}_{0}=\frac{Nq^{2}{B}^{2}}{2m}$（n=1，2，3，…）
（3）粒子在磁場中運動的時間為$\frac{2πm}{3qB}$．

點評 考查粒子在電場中做類平拋運動，在磁場中做勻速圓周運動，掌握處理類平拋運動與勻速圓周運動的規(guī)律，理解牛頓第二定律與幾何關(guān)系在題中的應用．