Question

2．如圖所示，在xOy坐標(biāo)平面內(nèi)，第一象限有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第四象限有垂直平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；電場(chǎng)和磁場(chǎng)的左邊界為y軸，右邊界為x=3L的虛線，x軸是它們的分界線．在x軸上方第二象限內(nèi)緊靠y軸放有一平行板電容器，左、右兩極間所加電壓為U．一靜止于左板內(nèi)側(cè)A處的正離子，經(jīng)加速電場(chǎng)直線加速后，從右板上的小孔射出，經(jīng)y軸上O′點(diǎn)以平行x軸方向射入電場(chǎng)，離子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其中在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}$L，最后恰從x軸上的P點(diǎn)射出場(chǎng)區(qū)而進(jìn)入第一象限，射出時(shí)的速度方向與x軸正向的夾角為45°．已知離子的質(zhì)量為m、電荷量為q，離子重力不計(jì)．試求：
（l）離子經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（2）O′點(diǎn)的縱坐標(biāo)值；
（3）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子的出射速度方向及半徑求得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的弦長(zhǎng)，再由粒子在恒力作用下的勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向，進(jìn)而求得經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）由粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度及位置，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律取得豎直位移，即O′點(diǎn)的縱坐標(biāo)值；
（3）由粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的速度及半徑求得磁感應(yīng)強(qiáng)度，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律取得電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)．

解答 解：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
由圖所示幾何關(guān)系可知，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的弦長(zhǎng)為L(zhǎng)，
，
又有，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受電場(chǎng)力的作用，則粒子在水平方向上的速度不變，在豎直方向上，由勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，粒子在相同位置速率大小相同，
則若粒子經(jīng)過磁場(chǎng)后進(jìn)入電場(chǎng)，在進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與第一次進(jìn)入磁場(chǎng)相同．
由粒子運(yùn)動(dòng)的弦長(zhǎng)為L(zhǎng)可得粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的次數(shù)n可取1，2．
由前面分析可知，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與x軸正方向成45°，
粒子經(jīng)過加速電場(chǎng)得到速度v₀，有$qU=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，所以，${v}_{0}=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$，
粒子經(jīng)過偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)，水平分速度不變，只有豎直方向的分速度改變，所以，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度$v=\frac{{v}_{0}}{cos45°}=\sqrt{2}{v}_{0}=2\sqrt{\frac{qU}{m}}$；
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速率不變，所以，粒子經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的速度大小為$2\sqrt{\frac{qU}{m}}$；
（2）設(shè)O’點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y，則粒子在電場(chǎng)中第一次做類平拋運(yùn)動(dòng)過程，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的豎直分量v_y=v₀tan45°=v₀；
則類平拋運(yùn)動(dòng)沿x軸方向的位移x₁=2y；
離子再次回到電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)為類平拋的逆運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱性可得：（2n-1）x₁+nL=3L，
所以，$y=\frac{1}{2}{x}_{1}=\frac{1}{2}×\frac{（3-n）L}{2n-1}=\frac{（3-n）L}{2（2n-1）}$，
當(dāng)n=1時(shí)，y=L；當(dāng)n=2時(shí)，$y=\frac{1}{6}L$；
（3）由粒子在磁場(chǎng)中只受洛倫茲力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)可知，$Bvq=m\frac{{v}^{2}}{R}$；
所以，$B=\frac{mv}{qR}=\frac{m×2\sqrt{\frac{qU}{m}}}{q×\frac{\sqrt{2}}{2}L}=\frac{2}{L}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，加速度$a=\frac{qE}{m}$，運(yùn)動(dòng)時(shí)間$t=\frac{2y}{{v}_{0}}$，
所以有$y=\frac{1}{2}×\frac{qE}{m}×（\frac{2y}{{v}_{0}}）^{2}$，所以，$E=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qy}=\frac{m×\frac{2qU}{m}}{2qy}=\frac{U}{y}$；
所以，當(dāng)n=1時(shí)，y=L，$E=\frac{U}{L}$；當(dāng)n=2時(shí)，$y=\frac{1}{6}L$，$E=\frac{6U}{L}$；
答：（l）粒子經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的速度大小為$2\sqrt{\frac{qU}{m}}$；
（2）當(dāng)粒子只進(jìn)入磁場(chǎng)一次時(shí)，O′點(diǎn)的縱坐標(biāo)值為L(zhǎng)；當(dāng)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)兩次時(shí)，O′點(diǎn)的縱坐標(biāo)值為$\frac{1}{6}L$；
（3）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為$\frac{2}{L}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；當(dāng)粒子只進(jìn)入磁場(chǎng)一次時(shí)，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E為$\frac{U}{L}$；當(dāng)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)兩次時(shí)，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E為$\frac{6U}{L}$．

點(diǎn)評(píng) 求解粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題常用到幾何關(guān)系來判斷粒子的運(yùn)動(dòng)，如本題中，需要根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中那個(gè)運(yùn)動(dòng)的弦長(zhǎng)即有場(chǎng)范圍來判斷粒子的運(yùn)動(dòng)形式．