Question

4．如圖（甲）所示，兩水平放置的平行金屬板C、D相距很近，上面分別開有小孔O和O′，在D板上方有以MN為邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=10T，方向如圖所示，MN與D相距d=10cm；水平放置的平行金屬導(dǎo)軌P、Q間距L=0.50m，分別與金屬板C、D連接，放在磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=10T，方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．金屬棒AB緊貼著導(dǎo)軌沿導(dǎo)軌方向在磁場(chǎng)中做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，若規(guī)定向右為速度正方向，其速度圖象如圖（乙）所示．從t=0時(shí)刻開始，有若干質(zhì)量m=3.2×10^-21kg、電荷量q=1.6×10^-19C的帶正電粒子，由C板小孔O處連續(xù)不斷地進(jìn)入C、D兩板之間，設(shè)它們?cè)贠點(diǎn)時(shí)速度為零，其重力及粒子間的相互作用力不計(jì)．

求：（1）0～4.0s的哪段時(shí)間內(nèi)，進(jìn)入的粒子能飛出磁場(chǎng)邊界MN．
（2）MN邊界上有粒子飛出的區(qū)域長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）粒子要飛出磁場(chǎng)邊界MN，速度最小時(shí)，軌跡半徑也最小，恰好與MN相切，可得到軌跡半徑為d．根據(jù)粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=$\frac{mv}{qB}$求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，即為加速獲得的末速度，再由動(dòng)能定理求出加速電壓U，由U=ε=B₁Lv 求出AB運(yùn)動(dòng)的速度，由乙圖可求出所求的量．
（2）當(dāng)AB棒速度最大，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，CD板間電壓最大，粒子經(jīng)加速得到的速度最大，在磁場(chǎng)中軌跡半徑也最大，粒子出MN邊時(shí)，偏轉(zhuǎn)距離最小，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、動(dòng)能定理和半徑公式結(jié)合，并運(yùn)用幾何知識(shí)求得粒子從邊界MN射出來(lái)的位置之間區(qū)域長(zhǎng)度．

解答 解：（1）要粒子能飛出磁場(chǎng)邊界，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑的最小值r₁=d=0.1m
v₁=$\frac{qB{r}_{1}}{m}$
代入數(shù)據(jù)得：v₁=50m/s
根據(jù)動(dòng)能定理：U₁q=$\frac{1}{2}$mv₁²
U₁=$\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{2q}$=25V                   
U₁=Blv
v=$\frac{{U}_{1}}{Bl}$
代入數(shù)據(jù)得：v=5m/s
 由圖可得對(duì)應(yīng)的時(shí)間為0.25s＜t＜1.75s
（2）CD間能形成的最大感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)U₂=Blv′
代入數(shù)據(jù)得：U₂=100V
粒子的最大初速度v₂=$\sqrt{\frac{2q{U}_{2}}{m}}$
代入數(shù)據(jù)的：v₂=100m/s      
最大半徑r₂=$\frac{m{v}_{2}}{qB}$=0.2m
s=0.1-|（0.2-0.1$\sqrt{3}$）=0.073m      
答：（1）0～4.0s的0.25s＜t＜1.75s時(shí)間內(nèi)，進(jìn)入的粒子能飛出磁場(chǎng)邊界MN．
（2）MN邊界上有粒子飛出的區(qū)域長(zhǎng)度為0.073m．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的綜合，要注意挖掘臨界條件，掌握電磁學(xué)基本知識(shí)和基本的分析思路，屬于中檔題．