Question

8．一宇宙飛船靠近某行星時(shí)，繞行星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，隨后在行星上著陸，為了測(cè)定該行星的質(zhì)量，宇航員帶有簡單儀器：秒表、天平、彈簧測(cè)力計(jì)、水銀氣壓計(jì)、質(zhì)量為m的鉤碼．
（1）請(qǐng)為他設(shè)計(jì)一個(gè)可行性的測(cè)量方案，簡述步驟；
（2）導(dǎo)出行星質(zhì)量表達(dá)式（引力常量G可作為已知）．

Answer 1

分析 飛船近星球表面飛行的周期，根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，著陸后砝碼受到星球的萬有引力與重力相等，由此兩點(diǎn)列方程求解即可．

解答 解：令飛船的質(zhì)量為m₁，星球的半徑為R，質(zhì)量為M，則飛船繞星球表面飛行時(shí)，萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力有：
$G\frac{{m}_{1}M}{{R}^{2}}={m}_{1}R（\frac{2π}{T}）^{2}$
由此得：星球質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
又在星球表面有質(zhì)量為m的砝碼受到星球的引力為F，則：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=F$
得：$R=\sqrt{\frac{GMm}{F}}$
所以$M=\frac{4{π}^{2}}{G{T}^{2}}（\sqrt{\frac{GMm}{F}}）^{3}$
整理得：$M=\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}{m}^{3}G}$；
（1）根據(jù)以上的星球的質(zhì)量的表達(dá)式可以可知，只需要測(cè)量出繞行星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期，和質(zhì)量為m的鉤碼受到星球的引力為F，即可求出該星球的質(zhì)量，所以主要的實(shí)驗(yàn)步驟可以設(shè)計(jì)為：
a、在宇宙飛船靠近行星，繞行星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，使用秒表測(cè)量出環(huán)繞該行星運(yùn)動(dòng)的周期；
b、在行星上著陸后，用彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)量出質(zhì)量為m的砝碼受到星球的引力為F；
c、根據(jù)公式計(jì)算出該行星的質(zhì)量．
（2）行星質(zhì)量表達(dá)式為$M=\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}{m}^{3}G}$．
答：（1）設(shè)計(jì)一個(gè)可行性的測(cè)量方案為a、在宇宙飛船靠近行星，繞行星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，使用秒表測(cè)量出環(huán)繞該行星運(yùn)動(dòng)的周期；
b、在行星上著陸后，用彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)量出質(zhì)量為m的砝碼受到星球的引力為F；
c、根據(jù)公式計(jì)算出該行星的質(zhì)量．
（2）行星質(zhì)量表達(dá)式為$M=\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}{m}^{3}G}$．

點(diǎn)評(píng) 該題為開放性的設(shè)計(jì)型題目，要抓�。航�地飛行軌道半徑等于星球半徑，萬有引力提供向心力，在星球表面重力與萬有引力相等這是解決萬有引力問題的兩個(gè)基本入手點(diǎn)．