Question

11．如圖所示，勁度系數(shù)為k的輕彈簧下端周定在水平地面上，上端連接一質(zhì)量為m的物體A，一不可伸長(zhǎng)的輕繩跨過(guò)滑輪，兩端分別與物體A及質(zhì)量為2m的物體B連接，不計(jì)空氣阻力、定滑輪與輕繩間的摩擦，重力加速度為g．彈簧的形變始終在彈性限度內(nèi)．
（1）用手托住物體B，使兩邊輕繩和彈簧都處于豎直狀態(tài)，輕繩恰能拉直且彈簧處于原長(zhǎng)，然后無(wú)初速度釋放物體B，物體B可下落的最大距離為l，求物體B下落過(guò)程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能．
（2）用手托住物體B，使兩邊輕繩和彈簧都處于豎直狀態(tài)，輕繩中恰好不產(chǎn)生拉力，然后無(wú)初速度釋放物體B，求物體A的最大速度；
（3）將物體B放在動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，傾傾角為θ=30°的固定斜面上，用手按住，恰能使輕繩拉直，且彈簧處于原長(zhǎng)，如圖所示，若要使物體B下滑距離也為l，則物體B沿斜面向下的初速度至少要多大？

Answer 1

分析 （1）重物與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律可以求出最大彈性勢(shì)能．
（2）當(dāng)物體A的合力為零時(shí)速度最大，由牛頓第二定律和胡克定律得出此時(shí)彈簧的形變量，再由機(jī)械能守恒定律求A的最大速度．
（3）對(duì)系統(tǒng)，由能量守恒定律可以求出初速度．

解答 解：（1）重物下落距離l的過(guò)程中，它與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則由機(jī)械能守恒定律得彈簧的最大彈性勢(shì)能為：
E_Pm=2mgl-mgl=mgl；
（2）釋放前，彈簧的壓縮量為：x₁=$\frac{mg}{k}$
當(dāng)物體A的合力為零時(shí)速度最大，此時(shí)B的合力也為零，則繩子拉力為：T=2mg
由牛頓第二定律知，此時(shí)彈簧對(duì)A的拉力為：F=T-mg=mg
此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為：x₂=$\frac{mg}{k}$
則 x₂=x₁，所以物體A速度最大時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能等于釋放前的彈性勢(shì)能．對(duì)系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒得：
2mg（x₁+x₂）=mg（x₁+x₂）+$\frac{1}{2}•3m{v}^{2}$
解得物體A的最大速度為：v=2$\sqrt{\frac{m{g}^{2}}{3k}}$
（3）由（1）可知，重物在斜面上下滑l距離時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大，最大彈性勢(shì)能仍為：E_Pm=mgl
由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}$•3mv₀²+2mglsinθ=mgl+μmglcosθ+E_Pm
解得：v₀=$\sqrt{\frac{5gl}{3}}$
答：（1）物體B下落過(guò)程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能是mgl．
（2）物體A的最大速度為2$\sqrt{\frac{m{g}^{2}}{3k}}$．
（3）物體B沿斜面向下的初速度至少要$\sqrt{\frac{5gl}{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要明確物體A和B的狀態(tài)，知道A的速度最大時(shí)兩個(gè)物體的合力都為零．涉及力在空間的效應(yīng)，可考慮能量守恒定律或動(dòng)能定理．