Question

10．如圖所示，傾角為θ=37°的足夠長(zhǎng)平行導(dǎo)軌頂端bc間、底端ad間分別連一電阻，其阻值為R₁=R₂=2r，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)=1m．在導(dǎo)軌與兩個(gè)電阻構(gòu)成的回路中有垂直于軌道平面向下的磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁=1T．在導(dǎo)軌上橫放一質(zhì)量m=1kg、電阻為r=1Ω、長(zhǎng)度也為L(zhǎng)的導(dǎo)體棒ef，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌始終良好接觸，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5．在平行導(dǎo)軌的頂端通過導(dǎo)線連接一面積為S=0.5m²、總電阻為r、匝數(shù)N=100的線圈（線圈中軸線沿豎直方向），在線圈內(nèi)加上沿豎直方向，且均勻變化的磁場(chǎng)B₂（圖中未畫），連接線圈電路上的開關(guān)K處于斷開狀態(tài)，g=10m/s²，不計(jì)導(dǎo)軌電阻．
求：
（1）從靜止釋放導(dǎo)體棒，導(dǎo)體棒能達(dá)到的最大速度是多少？
（2）導(dǎo)體棒從靜止釋放到穩(wěn)定運(yùn)行之后的一段時(shí)間內(nèi)，電阻R₁上產(chǎn)生的焦耳熱為Q=0.5J，那么導(dǎo)體下滑的距離是多少？
（3）現(xiàn)閉合開關(guān)K，為使導(dǎo)體棒靜止于傾斜導(dǎo)軌上，那么在線圈中所加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向及變化率$\frac{△{B}_{2}}{△t}$大小的取值范圍？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)導(dǎo)體棒加速度為零時(shí)，速度最大，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式、閉合電路歐姆定律和安培力公式求出導(dǎo)體棒的最大速度．
（2）根據(jù)電阻R₁上產(chǎn)生的焦耳熱得出整個(gè)回路產(chǎn)生的焦耳熱，結(jié)合動(dòng)能定理，抓住克服安培力做功等于整個(gè)回路產(chǎn)生的焦耳熱，求出導(dǎo)體棒下滑的距離．
（3）當(dāng)安培力較大時(shí)，導(dǎo)體棒所受的摩擦力沿斜面向下，當(dāng)安培力較小時(shí)，導(dǎo)體棒所受的摩擦力沿斜面向上，抓住臨界狀態(tài)，結(jié)合平衡，以及法拉第電磁感應(yīng)定律，串并聯(lián)電路的特點(diǎn)求出磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率的范圍．

解答 解：（1）對(duì)導(dǎo)體棒，由牛頓第二定律有mgsinθ-μmgcosθ-BIL=ma        ①
其中I=$\frac{E}{{R}_{總}(cāng)}=\frac{BLv}{r+\frac{2r}{2}}=\frac{BLv}{2r}$，②
由①②知，隨著導(dǎo)體棒的速度增大，加速度減小，當(dāng)加速度減至0時(shí)，導(dǎo)體棒的速度達(dá)最大v_m，有：
${v}_{m}=\frac{2mgr（sinθ-μcosθ）}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
代入數(shù)據(jù)解得v_m=4m/s      ③
（2）導(dǎo)體棒從靜止釋放到穩(wěn)定運(yùn)行之后的一段時(shí)間內(nèi)，由動(dòng)能定理有
mgsinθ•d-μmgcosθ•d-W_克安=$\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}$，④
根據(jù)功能關(guān)系有：W_克安=E_電=Q_總，⑤
根據(jù)并聯(lián)電路特點(diǎn)得，Q_總=4Q       ⑥
由③④⑤⑥聯(lián)立得d=5m．
（3）開關(guān)閉合后，導(dǎo)體棒ef受到的安培力F′=B₁I_efL   ⑧
干路電流$I′=\frac{E′}{{R}_{總}(cāng)}=\frac{1}{{R}_{總}(cāng)}•N\frac{△Φ}{△t}=\frac{NS}{{R}_{總}(cāng)}•\frac{△{B}_{2}}{△t}$  ⑨
電路的總電阻${R}_{總}(cāng)=r+\frac{1}{\frac{1}{r}+\frac{1}{2r}+\frac{1}{2r}}=\frac{3}{2}r$  ⑩
根據(jù)電路規(guī)律及⑨⑩得${I}_{ef}=\frac{△{B}_{2}}{△t}•\frac{NS}{3r}$⑪
由⑧⑪聯(lián)立得$\frac{△{B}_{2}}{△t}=\frac{F′•3r}{N{B}_{1}LS}$⑫
當(dāng)安培力較大時(shí)F_max=mgsinθ+μmgcosθ=10N⑬
由⑫⑬解得$（\frac{△{B}_{2}}{△t}）_{max}=0.6T/s$⑭
安培力較小時(shí)F_min=mgsinθ-μmgcosθ=2N⑮
由⑫⑮得$（\frac{△{B}_{2}}{△t}）_{min}=0.12T/s$⑯
為使導(dǎo)體棒靜止于傾斜導(dǎo)軌上，磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化的取值范圍為：$0.12T/s≤\frac{△{B}_{2}}{△t}≤0.60T/s$．
根據(jù)楞次定律和安培定則知閉合線圈中所加磁場(chǎng)：若方向豎直向上，則均勻減小；若方向豎直向下，則均勻增強(qiáng)．
答：（1）從靜止釋放導(dǎo)體棒，導(dǎo)體棒能達(dá)到的最大速度是4m/s；
（2）導(dǎo)體下滑的距離是5m；
（3）在線圈中所加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度若方向豎直向上，則均勻減��；若方向豎直向下，則均勻增強(qiáng)．$\frac{△{B}_{2}}{△t}$大小的取值范圍為$0.12T/s≤\frac{△{B}_{2}}{△t}≤0.60T/s$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了電磁感應(yīng)與力學(xué)和能量的綜合運(yùn)用，知道導(dǎo)體棒加速度為零時(shí)，速度最大，知道克服安培力做功等于整個(gè)回路產(chǎn)生的熱量，對(duì)于第三問，實(shí)質(zhì)是共點(diǎn)力平衡的運(yùn)用，通過法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律、安培力公式綜合求解．