Question

4．如圖所示，光滑斜軌和光滑圓軌相連，固定在同一豎直面內(nèi)，圓軌的半徑為R=2.5m，一個(gè)質(zhì)量m=0.1kg的小球（大小可忽略不計(jì)），從離水平面高h(yuǎn)處靜止自由下滑，由斜軌進(jìn)入圓軌，取g=10m/s²，求：
（1）如果小球到達(dá)圓軌最高點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌的壓力大小恰好等于零，則小球在最高點(diǎn)的速度大小為多少？
（2）為了使小球能到達(dá)圓軌最高點(diǎn)，h的最小值為多少？
（3）如果小球到達(dá)圓軌最高點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌的壓力大小等于自身重力的4倍，那么小球通過圓軌最低點(diǎn)時(shí)速度大小為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律即可求解；
（2）根據(jù)小球運(yùn)動(dòng)過程機(jī)械能守恒求解；
（3）根據(jù)牛頓第三定律求得小球受到的支持力，進(jìn)而得到合外力，從而由牛頓第二定律求得在最高點(diǎn)的速度，然后由機(jī)械能守恒求得在最低點(diǎn)的速度．

解答 解：（1）小球到達(dá)圓軌最高點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌的壓力大小恰好等于零，故小球只受重力，那么由牛頓第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{1}=\sqrt{gR}=5m/s$；
（2）要使小球能到達(dá)圓軌最高點(diǎn)，那么小球在最高點(diǎn)的速度至少為v₁；
小球運(yùn)動(dòng)過程中只有重力做功，故機(jī)械能守恒，則有$mg（{h}_{min}-2R）=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}mgR$
解得：${h}_{min}=\frac{5}{2}R=6.25m$；
（3）如果小球到達(dá)圓軌最高點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌的壓力大小等于自身重力的4倍，那么小球受到圓軌的支持力F_N=4mg，故由牛頓第二定律可得：${F}_{N}+mg=5mg=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{R}$；
那么，由小球運(yùn)動(dòng)過程機(jī)械能守恒可得：$\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}+2mgR=\frac{9}{2}mgR$
解得：${v}_{3}=3\sqrt{gR}=15m/s$；
答：（1）如果小球到達(dá)圓軌最高點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌的壓力大小恰好等于零，則小球在最高點(diǎn)的速度大小為5m/s；
（2）為了使小球能到達(dá)圓軌最高點(diǎn)，h的最小值為6.25m；
（3）如果小球到達(dá)圓軌最高點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌的壓力大小等于自身重力的4倍，那么小球通過圓軌最低點(diǎn)時(shí)速度大小為15m/s．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．