Question

（20分）如圖所示，質(zhì)量均為的物體分別于輕質(zhì)彈簧的兩端栓接，將它們放在傾角為=30°的光滑斜面上，靜止時(shí)彈簧的形變量為x₀．斜面底端有固定擋板D，物體C靠在擋板D上．將質(zhì)量也為m的物體A從斜面上的某點(diǎn)由靜止釋放，與B相碰．已知重力加速度為g，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，不計(jì)空氣阻力．求：

（1）彈簧的勁度系數(shù)；
（2）若A與B相碰后粘連在一起開(kāi)始做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，且A與B第一次運(yùn)動(dòng)達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，C對(duì)擋板D的壓力恰好為0，求此簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅；
（3）若將A從另一位置由靜止釋放，A與B相碰后不粘連，但仍立即一起運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)B第一次運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，C對(duì)擋板D的壓力也恰好為零．已知A與B相碰后彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)B的速度大小為，求相碰后A第一次運(yùn)動(dòng)達(dá)到的最高點(diǎn)與開(kāi)始靜止釋放點(diǎn)之間的距離．

Answer 1

（1）（2）3x₀（3）6.5x₀  

試題分析：（1）對(duì)B，由平衡條件，有：
解得： 
（2）設(shè)A與B一起做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在平衡位置時(shí)彈簧的壓縮量為x₁
則有： 
設(shè)A與B第一次運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)彈簧的伸長(zhǎng)量為x₂
則由題意有：
所以此簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅A=x₁+x₂
解得：A=3x₀
（3） 設(shè)物體A釋放時(shí)A與B之間距離為x，A與B相碰前物體A速度的大小為v₁
則有：
設(shè)A與B相碰后兩物體共同速度的大小為v₂，對(duì)A與B發(fā)生碰撞的過(guò)程，有  mv₁=2mv₂
物體B靜止時(shí)彈簧的形變量為x₀，設(shè)彈性勢(shì)能為E_P，從A、B開(kāi)始?jí)嚎s彈簧到彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)的過(guò)程，有   
當(dāng)彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)A、B恰好分離，設(shè)分離后物體A還能沿斜面上升的距離為x₃。對(duì)物體A，從與B分離到最高點(diǎn)的過(guò)程，有  
對(duì)物體B、C和彈簧所組成的系統(tǒng)，物體B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)速度為0，物體C恰好離開(kāi)擋板D，此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量也為x₀，彈簧的彈性勢(shì)能也為E_P。從A、B分離到B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程，有    
物體A第一次運(yùn)動(dòng)達(dá)到的最高點(diǎn)與開(kāi)始靜止釋放點(diǎn)之間的距離
聯(lián)立以上各式解得：d=6.5x₀