Question

8．如圖所示，P是傾角為30°的光滑固定斜面．勁度系數(shù)為k的輕彈簧一端固定在斜面底端的固定擋板C上，另一端與質(zhì)量為m的物塊A相連接．細(xì)繩的一端系在物體A上，細(xì)繩跨過(guò)不計(jì)質(zhì)量和摩擦的定滑輪，另一端有一個(gè)不計(jì)質(zhì)量的小掛鉤．小掛鉤不掛任何物體時(shí)，物體A處于靜止?fàn)顟B(tài)，細(xì)繩與斜面平行．在小掛鉤上輕輕掛上一個(gè)質(zhì)量也為m的物塊B后，物塊A沿斜面向上運(yùn)動(dòng)．斜面足夠長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中B始終未接觸地面．已知重力加速度為g，求：
（1）物塊A處于靜止時(shí)，彈簧的壓縮量
（2）設(shè)物塊A沿斜面上升通過(guò)Q點(diǎn)位置時(shí)速度最大，求Q點(diǎn)到出發(fā)點(diǎn)的距離x₀和最大速度v_m
（3）把物塊B的質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的N倍（N＞0.5），小明同學(xué)認(rèn)為，只要N足夠大，就可以使物塊A沿斜面上滑到Q點(diǎn)時(shí)的速度增大到2v_m，你認(rèn)為是否正確？如果正確，請(qǐng)說(shuō)明理由，如果不正確，請(qǐng)求出A沿斜面上升到Q點(diǎn)位置的速度的范圍．

Answer 1

分析 （1）物塊A處于靜止時(shí)，合力為零，畫出受力圖，由平衡條件和胡克定律結(jié)合求彈簧的壓縮量．
（2）當(dāng)A受到的合力為零時(shí)速度最大，根據(jù)平衡條件求出此時(shí)彈簧的形變量，由幾何關(guān)系求Q點(diǎn)到出發(fā)點(diǎn)的距離x₀．再由機(jī)械能守恒定律可以求出最大速度v_m．
（3）由機(jī)械能守恒定律求出A的速度，然后求出速度的大小范圍．

解答 解：（1）物塊A處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)受力如圖：

由平衡條件有：mgsin30°=k•△x₁
解得：△x₁=$\frac{mg}{2k}$
（2）A加速上升階段，彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)前對(duì)A用牛頓第二定律有
  T+kx-mgsin30°=ma
對(duì)B由牛頓第二定律有
  mg-T=ma，解得 mgsin30°+kx=2ma，物體A在上升過(guò)程中，x減小，a減小，v增大；彈簧變?yōu)樯扉L(zhǎng)后同理得mgsin30°-kx=2ma，上升過(guò)程x增大，a減小，v繼續(xù)增大；可見(jiàn)，當(dāng)kx=mgsin30°時(shí)a=0，速度達(dá)到最大．此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量 x=△x₁
Q點(diǎn)速度最大，對(duì)應(yīng)的彈力大小恰好是$\frac{mg}{2}$，彈性勢(shì)能和初始狀態(tài)相同．故A上升到Q點(diǎn)過(guò)程，A、B的位移大小都是 x₀=2△x₁=$\frac{mg}{k}$
對(duì)A、B和彈簧系統(tǒng)用機(jī)械能守恒定律有
  mg•2△x₁=mg•2△x₁sin30°+$\frac{1}{2}•2m{v}_{m}^{2}$
可得 v_m=g$\sqrt{\frac{m}{2k}}$
（3）不正確
由能的轉(zhuǎn)化與守恒得：
 Nmg•2△x₁=mg•2△x₁sin30°+$\frac{1}{2}（Nm+m）{v}^{2}$
解得 v=$\sqrt{\frac{2g（N-\frac{1}{2}）•2△{x}_{1}}{N+1}}$，△x₁=$\frac{mg}{2k}$
當(dāng)N=0.5時(shí)，v=0，當(dāng)N→∞時(shí)，v=g$\sqrt{\frac{2m}{k}}$=2v_m
故A沿斜面上升到Q點(diǎn)位置時(shí)的速度的范圍是 0＜v＜g$\sqrt{\frac{2m}{k}}$=2v_m．
答：
（1）物塊A處于靜止時(shí)，彈簧的壓縮量是$\frac{mg}{2k}$．
（2）設(shè)物塊A沿斜面上升通過(guò)Q點(diǎn)位置時(shí)速度最大，Q點(diǎn)到出發(fā)點(diǎn)的距離x₀和最大速度v_m分別為$\frac{mg}{k}$和g$\sqrt{\frac{m}{2k}}$．
（3）出A沿斜面上升到Q點(diǎn)位置的速度的范圍是 0＜v＜g$\sqrt{\frac{2m}{k}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查牛頓第二定律的應(yīng)用及機(jī)械能守恒定律；要分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，分析出物體速度最大的條件：合力為零，應(yīng)用牛頓第二定律與機(jī)械能守恒定律可以正確解題．