Question

14．圓形的木板靜止在水平面上，在圓心處放一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小鐵塊，小鐵塊底部涂有黑色顏料，小鐵塊的質(zhì)量為m，小鐵塊和木板間的動(dòng)摩擦因素μ．在外力作用下圓木板以加速度a向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為T(mén)，小鐵塊相對(duì)圓木板滑動(dòng)，隨后圓木板以相同的加速度大小做勻減速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間也為T(mén)．
（1）若小鐵塊不從圓木板上滑下，則圓木板的半徑至少為多大？
（2）若小鐵塊不從圓木板上滑下，則小鐵塊停止在距離圓心多遠(yuǎn)處？
（3）若小鐵塊不從圓木板上滑下，μ=0.1，a=3m/s²，T=1s，m=1kg，則小鐵塊和圓木板間因摩擦產(chǎn)生的熱量為多少？

Answer 1

分析 （1）由題意可知，木板的加速度要大于鐵塊的加速度，所以撤去拉力后，木板的速度要大于鐵塊的速度，所以木板減速運(yùn)動(dòng)后，鐵塊仍然要做一段時(shí)間的加速運(yùn)動(dòng)，直到二者的速度相等后，鐵塊才開(kāi)始減速．在這之前，木板的速度大于鐵塊的速度，鐵塊相對(duì)于木板一直向后運(yùn)動(dòng)，到速度相等時(shí)，二者之間位移的差即為所求．由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式即可求出；
（2）鐵塊開(kāi)始減速后，木板也繼續(xù)減速，由于鐵塊的加速度比較小，所以鐵塊的速度將大于木板的速度，鐵塊相對(duì)于木板向前運(yùn)動(dòng)，二者都停止后產(chǎn)生的位移差，與（1）的結(jié)果的差，即為所求；
（3）由前兩問(wèn)的結(jié)果，將因摩擦產(chǎn)生的熱量的計(jì)算公式Q=fL_相對(duì)，即可求出結(jié)果．

解答 解：（1）鐵塊在水平方向受到摩擦力的作用做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度：$a′=\frac{μmg}{m}=μg$
由題意，設(shè)撤去拉力后再經(jīng)過(guò)時(shí)間t鐵塊與木板的速度才相對(duì)，得：
a（T-t）=a′（T+t）
所以：$t=\frac{a-a′}{a+a′}T=\frac{a-μg}{a+μg}•T$   ①
木板加速階段的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}a{T}^{2}$，②
木板減速階段的位移：${x}_{2}=aT•t-\frac{1}{2}a{t}^{2}$   ③
鐵塊的位移：${x}_{3}=\frac{1}{2}a′（T+t）^{2}$  ④
在這之前，木板的速度大于鐵塊的速度，鐵塊相對(duì)于木板一直向后運(yùn)動(dòng)，所以它們之間位移的差：
△x₁=x₁+x₂-x₃   ⑤
聯(lián)立①②③④⑤得：△x₁=$\frac{2{a}^{2}+a•μg-{μ}^{2}{g}^{2}}{2（a+μg）}•{T}^{2}$   ⑥
小鐵塊不從圓木板上滑下，則圓木板的半徑至少為$\frac{2{a}^{2}+a•μg-{μ}^{2}{g}^{2}}{2（a+μg）}•{T}^{2}$．
（2）此后，木板運(yùn)動(dòng)到停止時(shí)的時(shí)間是（T-t），木板的位移：${x}_{4}=a（T-t）•（T-t）-\frac{1}{2}a（T-t）^{2}$⑦
鐵塊水平方向受到摩擦力的作用做減速運(yùn)動(dòng)，所以加速度仍然等于a′，由運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，鐵塊減速階段的位移與加速階段的位移相等，等于x₃．
鐵塊相對(duì)于木板向前的位移：△x₂=x₃-x₄⑧
聯(lián)立③④⑦⑧得：△x₂=$\frac{2a•μg（a-μg）}{（a+μg）^{2}}•{T}^{2}$    ⑨
所以此時(shí)鐵塊到木板的圓心的距離是：
L=△x₁-△x₂=$\frac{2{a}^{3}-{a}^{2}μg+4a{μ}^{2}{g}^{2}-{μ}^{3}{g}^{3}}{（a+μg）^{2}}•{T}^{2}$
（3）鐵塊加速階段，鐵塊相對(duì)于木板的位移是；鐵塊減速階段，鐵塊相對(duì)于木板的位移是；
所以小鐵塊和圓木板間因摩擦產(chǎn)生的熱量為：Q=f（△x₁+△x₂）=μmg（△x₁+△x₂）
將μ=0.1，a=3m/s²，T=1s，m=1kg，以及⑥⑨代入上式，得：
Q=3.25J
答：（1）若小鐵塊不從圓木板上滑下，則圓木板的半徑至少為$\frac{2{a}^{2}+a•μg-{μ}^{2}{g}^{2}}{2（a+μg）}•{T}^{2}$；
（2）若小鐵塊不從圓木板上滑下，則小鐵塊停止在距離圓心$\frac{2{a}^{3}-{a}^{2}μg+4a{μ}^{2}{g}^{2}-{μ}^{3}{g}^{3}}{（a+μg）^{2}}•{T}^{2}$處；
（3）若小鐵塊不從圓木板上滑下，μ=0.1，a=3m/s²，T=1s，m=1kg，則小鐵塊和圓木板間因摩擦產(chǎn)生的熱量為3.25J．

點(diǎn)評(píng) 該題通過(guò)鐵塊與木板的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，考查運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中產(chǎn)生的熱量，屬于多個(gè)物體、多個(gè)過(guò)程的問(wèn)題．由于涉及的過(guò)程比較復(fù)雜，所以一定要理清鐵塊和木板的運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，特別是在求木板的最小半徑的過(guò)程中，不能當(dāng)成是木板速度最大時(shí)二者之間位移的差．