Question

20．在真空室內(nèi)，豎直放置的M、N板涂有熒光物質(zhì)，如圖所示．兩板間豎直條形區(qū)域Ⅰ存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，區(qū)域Ⅱ存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁場(chǎng)和電場(chǎng)均有界，寬度均為L(zhǎng)，且足夠長(zhǎng)，磁場(chǎng)的強(qiáng)弱可以調(diào)節(jié)，電場(chǎng)強(qiáng)度恒為E．現(xiàn)有一束質(zhì)子從A處連續(xù)不斷地射入磁場(chǎng)，入射方向與M板成θ=60°夾角且與紙面平行，已知該質(zhì)子束由兩種速度的質(zhì)子組成，一種速度大小為v的低速質(zhì)子，另一種速度大小為3v的高速質(zhì)子．當(dāng)Ⅰ區(qū)域的磁場(chǎng)較強(qiáng)時(shí)，M板出現(xiàn)兩個(gè)亮斑，緩慢改變磁場(chǎng)強(qiáng)弱，直到兩個(gè)亮斑相繼消失，此時(shí)觀察到N板有兩個(gè)亮斑．已知質(zhì)子質(zhì)量為m，電量為e，不計(jì)質(zhì)子重力和相互間作用力，求：
（1）若保持M、N板各有一個(gè)亮斑，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)；
（2）當(dāng)M板亮斑剛好消失，N板出現(xiàn)兩個(gè)亮斑時(shí)，兩個(gè)亮斑之間的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知兩粒子可能的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)洛侖茲力充當(dāng)向心力及幾何關(guān)系可明確磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍；
（2）由題意可知兩粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)幾何關(guān)系可明確兩個(gè)粒子之間的距離．

解答 解：（1）MN各有一個(gè)亮斑，高速質(zhì)子打在N板上，低速質(zhì)子打在M板上，B最大時(shí)，高速質(zhì)子速度恰好與兩場(chǎng)交界相切且與電場(chǎng)方向垂直，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑為R₁，則有：
3evB_max=m$\frac{（3v）^{2}}{R}$
由幾何關(guān)系可得：
R₁+R₁cos60°=L
解得：Bmax=$\frac{9mv}{2eL}$
B最小時(shí)，低速質(zhì)子速度恰好與兩場(chǎng)交界相切且與電場(chǎng)方向垂直，在磁場(chǎng)中半徑為R₂；
則有：
evB_min=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$
R₂+R₂cos60°=L
解得：B_min=$\frac{3mv}{2eL}$
故磁感應(yīng)強(qiáng)度的取值范圍為：$\frac{3mv}{2eL}$≤B≤$\frac{9mv}{2eL}$；
（2）當(dāng)恰好出現(xiàn)兩個(gè)亮斑時(shí)，低速質(zhì)子速度恰好與兩場(chǎng)交界相切且與電場(chǎng)方向垂直，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑為R₂，高速質(zhì)子半徑R₁′=3R₂，
軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可知，此時(shí)高速質(zhì)子沿電場(chǎng)線進(jìn)入電場(chǎng)，到達(dá)N板時(shí)與A點(diǎn)得豎直高度差為：
h₁=R₁′-R₁′sin60°
低速質(zhì)子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)距離為：h₂=R₂sin60°
設(shè)在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t′，則有L=$\frac{1}{2}$at′²
eE=ma
電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)距離為：h₃=vt′
聯(lián)立解得：h=h₁+h₂+h₃=（2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）L+v$\sqrt{\frac{2mL}{eE}}$
答：（1）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)控制在$\frac{3mv}{2eL}$≤B≤$\frac{9mv}{2eL}$范圍內(nèi)；
（2）當(dāng)M板亮斑剛好消失，N板出現(xiàn)兩個(gè)亮斑時(shí)，兩個(gè)亮斑之間的距離（2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）L+v$\sqrt{\frac{2mL}{eE}}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，須“畫圓弧、定圓心、求半徑”．同時(shí)利用幾何關(guān)系來(lái)確定半徑大小．
帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可將運(yùn)動(dòng)分解，分解成的相互垂直兩運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性．