Question

5．如圖所示，兩條光滑平行導(dǎo)軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L，導(dǎo)軌上端接有一電阻，阻值為R．導(dǎo)軌處于長度為x的勻強磁場中，磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面．在導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為m、阻值也為R的金屬棒，棒可沿導(dǎo)軌下滑，且在下滑過程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸．讓金屬棒從距離磁場上邊界x處由靜止釋放，當運動到距離磁場上邊界$\frac{x}{2}$處恰好達到勻速．已知重力加速度大小為g，不計其他電阻，且x＜$\frac{2{m}^{2}{R}^{2}gsinθ}{{B}^{4}{L}^{4}}$．求金屬棒從靜止釋放到剛好離開磁場的過程中，
（1）金屬棒中所產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（2）所經(jīng)歷的總時間t．

Answer 1

分析 （1）明確物理過程，根據(jù)磁場中的勻速運動可求得安培力大小，再根據(jù)閉合電路歐姆定律以及法拉第電磁感應(yīng)定律分析金屬棒的運動情況，再對全面過程根據(jù)功能關(guān)系可分析金屬棒產(chǎn)生的焦耳熱；
（2）分析運動過程，分別根據(jù)牛頓第二定律和功能關(guān)系進行分析，求出各段所用的時間，即可求得總時間．

解答 解：（1）在磁場中勻速運動時，速度為v，由受力平衡知：F_A=mgsinθ（F_A表示安培力）-----------（1）
又：F_A=BIL--------------------------（2）
由閉合電路歐姆定律有：I=$\frac{E}{2R}$------------------（3）
由法拉第電磁感應(yīng)定律由：E=BLv------------------（4）
聯(lián)立（1）～（4）得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$=mgsinθ----------------（5）
x＜$\frac{2{m}^{2}{R}^{2}gsinθ}{{B}^{4}{L}^{4}}$⇒x＜$\frac{{v}^{2}}{2gsinθ}$，說明在金屬棒進入磁場前還未達到最大速度．
從開始運動到導(dǎo)體棒出磁場，動能定理：W_G+W_L=$\frac{1}{2}$mv²------（6）
重力做功：W_G=mg（x+x）sinθ------------------（7）
安培力做功：W_A=-Q_2R（其中Q_2R指全電路中產(chǎn)生的焦耳熱）-----（8）
由電路結(jié)構(gòu)，金屬棒產(chǎn)生的焦耳熱Q為：Q=$\frac{1}{2}$Q_2R---------（9）
（5）～（9）得：Q=mgsinθ-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}$
（2）由題知：可知，金屬棒在進入磁場前做勻加速直線運動，加速度為a₁
受力，牛頓第二定律：mgsinθ=ma₁----------------（10）
金屬棒僅在重力作用下，勻加速直線運動：x=$\frac{1}{2}$a₁t${\;}_{1}^{2}$----------（11）
由（10）～（11）得：t₁=$\sqrt{\frac{2x}{gsinθ}}$-------------------（12）
在磁場中前半部分，位移為$\frac{x}{2}$，全電路焦耳熱為Q₁
從金屬棒開始運動到勻速，歷時t₂
由功能關(guān)系得：t₂=$\frac{{B}^{6}{L}^{6}}{4mgRsinθ（3{B}^{4}{L}^{4}x-4{m}^{2}g{R}^{2}sinθ）}$-----（13）

在磁場中運動的后半部分，位移為x，速度為勻速運動時的速度v
時間t₃為：t₃=$\frac{\frac{x}{2}}{v}$----------------------（14）
由（5）和（14）得：t₃=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}x}{4mgRsinθ}$-------------（15）
導(dǎo)體棒運動的總時間為：t=t₁+t₂+t₃-------------（16）
代入上述式子可得：t=$\sqrt{\frac{2x}{gsinθ}}$+$\frac{{B}^{6}{L}^{6}}{4mgRsinθ（3{B}^{4}{L}^{4}x-4{m}^{2}g{R}^{2}sinθ）}$+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}x}{4mgRsinθ}$
答：（1）金屬棒中所產(chǎn)生的焦耳熱Q為mgsinθ-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}$；
（2）所經(jīng)歷的總時間t為$\sqrt{\frac{2x}{gsinθ}}$+$\frac{{B}^{6}{L}^{6}}{4mgRsinθ（3{B}^{4}{L}^{4}x-4{m}^{2}g{R}^{2}sinθ）}$+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}x}{4mgRsinθ}$

點評 本題考查導(dǎo)體切割磁感線中的功能關(guān)系以及動力學規(guī)律的應(yīng)用，要注意明確運動過程、受力分析以及功能關(guān)系的轉(zhuǎn)化規(guī)律等，明確物理規(guī)律的準確應(yīng)用即可求解，過程較為復(fù)雜，要注意認真分析每一步．