Question

4．如圖所示，寬為 L=2m、足夠長的金屬導軌MN和PQ放在傾角為θ=30°的斜面上，在N和Q之間連有一個阻值為 R=1.2Ω的電阻，在導軌上ab處放置一根與導軌垂直、質量為m=0.8kg、電阻為r=0.4Ω的金屬桿，導軌的電阻不計．用輕繩通過定滑輪將電動小車與桿的中點相連，繩與桿的連線平行于斜面，開始時小車位于滑輪的正下方水平面上的A處（小車可視為質點），滑輪離小車的高度H=4.0m．在導軌的ab和cd所圍的區(qū)域存在一個磁感應強度 B=1.0T、方向垂直于斜面向上的勻強磁場，此區(qū)域內桿和導軌間的動摩擦因數為 μ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，此區(qū)域外導軌是光滑的．電動小車以 v=1.0m/s 的速度沿水平面勻速前進，桿經S=1m的位移由ab滑到cd位置，g取10m/s²，求：

（1）當桿滑到cd位置時的速度．
（2）若桿滑到cd位置時細繩拉力為10.1N，桿通過cd位置時的加速度；
（3）若桿運動到cd位置時繩子突然斷了，則從斷繩到桿回到ab位置過程中，電阻R上產生的熱量Q為多少？（設導軌足夠長，桿滑回到cd前已做勻速直線運動）．

Answer 1

分析 （1）由速度公式求出金屬棒通過cd時的速度大小v；
（2）感應電動勢為E=BLv，由歐姆定律求出電流，由安培力公式求出安培力，然后由牛頓第二定律求出加速度．
（3）由平衡條件求出滑桿的速度，由能量守恒定律求出產生的熱量．

解答 解：（1）滑桿運動到cd位置時，小車通過B點時的速度為v=1.0m/s，
設系繩與水平面的夾角為α，則
滑桿$\frac{H}{sinα}$-H=d，sinα=0.8，α=53°，
此時向上的速度即繩端沿繩長方向的速度：v₁=vcosα=0.6m/s．
（2）滑桿運動到cd位置產生感應電動勢E=BLv₁，產生感應電流I=$\frac{E}{R+r}$，
受到的安培力F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R+r}$，代入數據，可得F_安=1.5N．
滑桿通過cd位置時所受摩擦力f=μmgcosθ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×0.8×10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3N．
由牛頓第二定律得：F-mgsinθ-f-F_安=ma，解得加速度：a=2m/s²．
（2）設滑桿返回運動到ab位置后做勻速運動的速度為v₂，
由平衡條件得：mgsinθ=μmgcosθ+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R+r}$，
帶入數據，可得：v₂=0.4m/s，
由能量守恒定律得：Q=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²+mgdsinθ-μmgdcosθ，
帶入數據，可得Q=1.08J，Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q，解得：Q_R=0.81J．
答：（1）當桿滑到cd位置時的速度為0.6m/s．
（2）滑桿通過cd位置時的加速度為2m/s²；
（2）電阻R上產生的熱量Q為0.81J．

點評 本題是一道電磁感應與力學、電學相結合的綜合體，考查了求加速度、電阻產生的熱量，分析清楚滑桿的運動過程，應用運動的合成與分解、E=BLv、歐姆定律、安培力公式、牛頓第二定律、平衡條件、能量守恒定律即可正確解題；求R產生的熱量時要注意，系統(tǒng)產生的總熱量為R與r產生的熱量之和．