Question

【題目】（1）試證明:“靜止的通電導(dǎo)線在磁場中受到的安培力，在數(shù)值上等于大量定向運(yùn)動的電荷受到的洛倫茲力的總和”。以一段柱狀通電直導(dǎo)線為例，設(shè)導(dǎo)線的橫截面積為S，長度為L，單位體積內(nèi)自由電荷數(shù)為n，電荷電量為q，電荷定向移動的平均速率為v。假定在金屬導(dǎo)體中正電荷定向移動形成電流，得到結(jié)果具有普遍性（本假定同樣適用于以下兩問）。

（2）如圖所示，接通電路后，導(dǎo)體棒在安培力作用下向右運(yùn)動。此時，導(dǎo)體中自由電荷既在電場力作用下沿導(dǎo)體棒運(yùn)動，又隨導(dǎo)體棒沿水平方向運(yùn)動，從而導(dǎo)致運(yùn)動電荷所受洛倫茲力與宏觀安培力不在同一方向。

在此模型中，請證明：安培力對導(dǎo)體棒做功，在數(shù)值上等于大量可自由運(yùn)動電荷所受洛倫茲力的某個分力對電荷做功的總和。

為方便證明，可設(shè)電源電動勢為E，導(dǎo)體棒的電阻為R，其長度為L，恰好等于平行軌道間距，整個裝置處于豎直、向下磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，忽略電源和金屬導(dǎo)軌的電阻。導(dǎo)體棒在安培力和摩擦力的作用下，向右以速度vx做勻速直線運(yùn)動，在時間t內(nèi)由實(shí)線位置運(yùn)動到虛線位置；同時棒內(nèi)某個正電荷在該時間t內(nèi)從a位置定向運(yùn)動到b位置。如在證明過程中，還需用到其他物理量，請自行假設(shè)。

（3）在（2）問所涉及的模型中，通過導(dǎo)體棒的電流：。這是因?yàn)閷?dǎo)體在運(yùn)動過程中會切割磁感線，產(chǎn)生“反電動勢E”。請你根據(jù)該過程的微觀機(jī)制，利用電動勢的定義，求出圖示模型中的反電動勢E，并寫出通過導(dǎo)體棒的電流I。

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）證明過程見解析；（3）；。

【解析】

（1）寫出安培力和洛侖茲力的公式，將電流的微觀表達(dá)式代入安培力公式可證明是洛侖茲力的整數(shù)倍；

（2）根據(jù)圖示模型畫出正電荷的速度矢量圖，再由左手定則畫出洛侖茲力矢量分解圖，由功的定義，可以證明：安培力對導(dǎo)體棒做功，在數(shù)值上等于大量可自由運(yùn)動電荷所受洛倫茲力的水平分力對電荷做功的總和；

（3）由電動勢的定義，及歐姆定律先求出反電動勢，然后再寫出電路中的電流。

：（1）證明：通電導(dǎo)線在磁場中受到的安培力為：

而電流為：

每個電荷q受到的洛侖茲力為：

所以安培力為：

（2）如圖所示的模型中，導(dǎo)體棒通電后受到安培力向右運(yùn)動距離為，則安培力做功為：

正電荷的和速度如圖所示（下），及洛倫茲力如圖所示（上），則洛倫茲力水平分量為：

它所做的功為：

所以：

即安培力做功在數(shù)值上等于大量運(yùn)動電荷所受洛倫茲力在導(dǎo)體棒運(yùn)動方向上分力做功之和。

（3）根據(jù)電動勢的定義有：

電路中電流為：