Question

7．如圖所示，在坐標系Oxy的第一象限中存在沿y軸正方向的勻速磁場，場強大小為E．在其它象限中存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里．A是y軸上的一點，它到坐標原點O的距離為h；C是x軸上的一點，到O的距離為L．一質量為m，電荷量為q的帶負電的粒子以某一初速度沿x軸方向從A點進入電場區(qū)域，繼而通過C點進入磁場區(qū)域．并再次通過A點，此時速度方向與y軸正方向成銳角．不計重力作用．試求：
（1）粒子經(jīng)過C點速度的大小和方向（只需求出與x方向夾角的三角函數(shù)值即可）；
（2）磁感應強度的大小B．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場作用下做類平拋運動，加速度沿y軸負方向，根據(jù)平拋運動的基本公式可求出初速度，再根據(jù)圓周運動的對稱性求出C點進入磁場時的速度為v，方向可通過幾何關系求解．
（2、3）粒子從C點進入磁場后在磁場中做速率為v的圓周運動．理論重量通過向心力，通過幾何關系表示出軌道半徑R，進而求出B．

解答 解：畫出帶電粒子的運動軌跡如圖所示

（1）以a表示粒子在電場作用下的加速度，
有qE=ma　 ①
加速度沿y軸負方向．
設粒子從A點進入電場時的初速度為v₀，由A點運動到C點經(jīng)歷的時間為t，則有h=$\frac{1}{2}$at²　 ②
l=v₀t　 ③
由②③式得v₀=$l\sqrt{\frac{a}{2h}}$ ④
設粒子從C點進入磁場時的速度為v，v垂直于x軸的分量v₁=$\sqrt{2ah}$⑤
由①④⑤式得
v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{\frac{qE4{h}^{2}+{l}^{2}}{2mh}}$⑥
設粒子經(jīng)過C點時的速度方向與x軸的夾角為α，則有tanα=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{0}}$⑦
由④⑤⑦式得α=arctan$\frac{2h}{l}$．⑧
（2）粒子從C點進入磁場后在磁場中做速率為v的圓周運動．若圓周的半徑為R，
則有 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ ⑨
設圓心為P，則PC必與過C點的速度垂直，且有$\overline{PC}=\overline{PA}=R$．用β表示$\overline{PA}$與y軸的夾角，由幾何關系得
Rcosβ=Rcosα+h　⑩
Rsinβ=l-Rsinα⑪
由⑧⑩⑪式解得 R=$\frac{{h}^{2}+{l}^{2}}{2hl}$$\sqrt{4{h}^{2}+{l}^{2}}$⑫
由⑥⑨⑫式解得B=$\frac{l}{{h}^{2}+{l}^{2}}\sqrt{\frac{2mhE}{q}}$．
答：（1）粒子經(jīng)過C點時速度的大小是$\sqrt{\frac{qE4{h}^{2}+{l}^{2}}{2mh}}$，速度方向與x軸之間的夾角是α=arctan$\frac{2h}{l}$；
（2）磁感應強度的大小是$\frac{l}{{h}^{2}+{l}^{2}}\sqrt{\frac{2mhE}{q}}$．

點評 本題主要考查了帶電粒子在混合場中運動的問題，要求同學們能正確分析粒子的受力情況，再通過受力情況分析粒子的運動情況，熟練掌握平拋運動和圓周運動的基本公式，并幾何幾何關系解題，難度較大．