Question

7．如圖所示，在坐標(biāo)系Oxy的第一象限中存在沿y軸正方向的勻速磁場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E．在其它象限中存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里．A是y軸上的一點(diǎn)，它到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為h；C是x軸上的一點(diǎn)，到O的距離為L(zhǎng)．一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶負(fù)電的粒子以某一初速度沿x軸方向從A點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域，繼而通過(guò)C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域．并再次通過(guò)A點(diǎn)，此時(shí)速度方向與y軸正方向成銳角．不計(jì)重力作用．試求：
（1）粒子經(jīng)過(guò)C點(diǎn)速度的大小和方向（只需求出與x方向夾角的三角函數(shù)值即可）；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)作用下做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，加速度沿y軸負(fù)方向，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式可求出初速度，再根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性求出C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，方向可通過(guò)幾何關(guān)系求解．
（2、3）粒子從C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后在磁場(chǎng)中做速率為v的圓周運(yùn)動(dòng)．理論重量通過(guò)向心力，通過(guò)幾何關(guān)系表示出軌道半徑R，進(jìn)而求出B．

解答 解：畫(huà)出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

（1）以a表示粒子在電場(chǎng)作用下的加速度，
有qE=ma　 ①
加速度沿y軸負(fù)方向．
設(shè)粒子從A點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的初速度為v₀，由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為t，則有h=$\frac{1}{2}$at²　 ②
l=v₀t　 ③
由②③式得v₀=$l\sqrt{\frac{a}{2h}}$ ④
設(shè)粒子從C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，v垂直于x軸的分量v₁=$\sqrt{2ah}$⑤
由①④⑤式得
v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{\frac{qE4{h}^{2}+{l}^{2}}{2mh}}$⑥
設(shè)粒子經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度方向與x軸的夾角為α，則有tanα=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{0}}$⑦
由④⑤⑦式得α=arctan$\frac{2h}{l}$．⑧
（2）粒子從C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后在磁場(chǎng)中做速率為v的圓周運(yùn)動(dòng)．若圓周的半徑為R，
則有 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ ⑨
設(shè)圓心為P，則PC必與過(guò)C點(diǎn)的速度垂直，且有$\overline{PC}=\overline{PA}=R$．用β表示$\overline{PA}$與y軸的夾角，由幾何關(guān)系得
Rcosβ=Rcosα+h　⑩
Rsinβ=l-Rsinα⑪
由⑧⑩⑪式解得 R=$\frac{{h}^{2}+{l}^{2}}{2hl}$$\sqrt{4{h}^{2}+{l}^{2}}$⑫
由⑥⑨⑫式解得B=$\frac{l}{{h}^{2}+{l}^{2}}\sqrt{\frac{2mhE}{q}}$．
答：（1）粒子經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)速度的大小是$\sqrt{\frac{qE4{h}^{2}+{l}^{2}}{2mh}}$，速度方向與x軸之間的夾角是α=arctan$\frac{2h}{l}$；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小是$\frac{l}{{h}^{2}+{l}^{2}}\sqrt{\frac{2mhE}{q}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了帶電粒子在混合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，要求同學(xué)們能正確分析粒子的受力情況，再通過(guò)受力情況分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，熟練掌握平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式，并幾何幾何關(guān)系解題，難度較大．