Question

1．如圖所示的絕緣軌道固定在豎直面內(nèi)，其中，傾角53°的斜軌與半徑R=0.2m的光滑半圓軌在B點(diǎn)相切，斜軌上A點(diǎn)有一可視為質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)量m=0.1kg、電荷量q=1×10^-3C的帶正電滑塊．己知A、B間距離L=1m，滑塊與斜軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，取g=10m/s²．
（1）若讓滑塊從A點(diǎn)無初速釋放，求滑塊運(yùn)動(dòng)過程中對半圓軌的最大彈力大��；
（2）若在整個(gè)空間加一方向水平向右、場強(qiáng)大小E=$\frac{4}{3}$×10³N/C的勻強(qiáng)電場，讓滑塊從斜軌上A點(diǎn)以沿斜軌向下、大小v₀=5m/s的初速度開始運(yùn)動(dòng)．試通過計(jì)算說明滑塊能否通過半圓軌的另一端C，若能通過，請求出滑塊在斜軌上的落點(diǎn)與B點(diǎn)間的距離．

Answer 1

分析 （1）對滑塊由A到最低點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)能定理求出最低點(diǎn)的速度，由向心力公式求出最低點(diǎn)的彈力；
（2）將重力和電場力等效為一個(gè)力，假設(shè)能通過C點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理求出C點(diǎn)速度，過C點(diǎn)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，沿${v}_{C}^{\;}$方向勻速直線運(yùn)動(dòng)，垂直于${v}_{C}^{\;}$勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可求解；

解答 解：（1）從A點(diǎn)到最低點(diǎn)根據(jù)動(dòng)能定理，有
$mg（Lsin53°+R-Rsin37°）-μmgcos53°L=\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{m}^{2}=15.2$
在最低點(diǎn)由向心力公式得
${F}_{N}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：${F}_{N}^{\;}=mg+m\frac{{v}_{m}^{2}}{R}=1+0.1×\frac{15.2}{0.2}=8.6N$
（2）電場力${F}_{電}^{\;}=Eq=\frac{4}{3}×1{0}_{\;}^{3}×1×1{0}_{\;}^{-3}=\frac{4}{3}N$
滑塊重力G=mg=1N
設(shè)電場力與重力的合力為F_合，F(xiàn)_合與重力的夾角為θ
則有$tanθ=\frac{F}{mg}=\frac{4}{3}$，即θ=53°
${F}_{合}^{\;}=\frac{mg}{cos53°}=\frac{1}{0.6}=\frac{5}{3}N$
在斜軌上受到的摩擦力$f=μ{F}_{N}^{\;}=μF=0.2×\frac{5}{3}N=\frac{1}{3}N$
從A到C根據(jù)動(dòng)能定理，有
$-{F}_{合}^{\;}•2R-fL=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入數(shù)據(jù)：$-\frac{5}{3}×0.4-\frac{1}{3}×1=\frac{1}{2}×0.1{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}×0.1×{5}_{\;}^{2}$
解得：${v}_{C}^{\;}=\sqrt{5}m/s$
離開C點(diǎn)后，滑塊做類平拋運(yùn)動(dòng)，加速度$a=\frac{{F}_{合}^{\;}}{m}=\frac{\frac{5}{3}}{0.1}=\frac{50}{3}m/{s}_{\;}^{2}$
在與${v}_{C}^{\;}$垂直方向上$2R=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：$t=\sqrt{\frac{2.4}{50}}s$
滑塊落在斜軌上的落點(diǎn)與B點(diǎn)間的距離$x={v}_{C}^{\;}t=\sqrt{\frac{2.4}{50}}×\sqrt{5}=\frac{\sqrt{6}}{5}m$
答：（1）若讓滑塊從A點(diǎn)無初速釋放，滑塊運(yùn)動(dòng)過程中對半圓軌的最大彈力大小8.6N；
（2）能通過C點(diǎn)，滑塊在斜軌上的落點(diǎn)與B點(diǎn)間的距離為$\frac{\sqrt{6}}{5}m$

點(diǎn)評 本題第二問采用等效法求解，關(guān)鍵是將重力和電場力合成后當(dāng)作一種全新的場力，然后左側(cè)等效場的最高點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓第二定律靈活列式求解．