Question

（2007?南通模擬）如圖（1）所示，一邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為m，電阻為R的金屬絲方框豎直放置在磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直方框平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小隨y的變化規(guī)律為B=B₀+ky，k為恒定常數(shù)，同一水平面上磁感應(yīng)強(qiáng)度相同．現(xiàn)將方框以初速度v₀從O點(diǎn)水平拋出，重力加速度為g，不計(jì)阻力．

（1）通過計(jì)算確定方框最終運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)；
（2）若方框下落過程中產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)E與下落高度y的關(guān)系如圖（2）所示，求方框下落H高度時(shí)產(chǎn)生的內(nèi)能．

Answer 1

分析：（1）對(duì)導(dǎo)線框進(jìn)行受力分析，根據(jù)導(dǎo)線框的受力情況判斷導(dǎo)線框在水平方向的運(yùn)動(dòng)情況；
由E=BLv求出導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由牛頓第二定律求出導(dǎo)線框的加速度，
根據(jù)加速度的表達(dá)式判斷導(dǎo)線框最終的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，求出最終的速度，然后由平行四邊形定則求出導(dǎo)線框的速度．
（2）由能量守恒定律求出導(dǎo)線框產(chǎn)生的焦耳熱．

解答：解：（1）線框中各條邊的電流相等，根據(jù)對(duì)稱性可知線框在水平方向所受合力為0，
導(dǎo)線框在水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)；
設(shè)線框運(yùn)動(dòng)ts，下落h高度，豎直方向速度為v_y，
切割產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)E=B_下Lv_y-B_上Lv_y ①，
磁感應(yīng)強(qiáng)度：B=B₀+ky    ②，
導(dǎo)線框中的電流I=

E

R

    ③，
由牛頓第二定律得：mg-（B_下LI-B_上LI）=ma  ④，
由①②③④解得，a=g-

k2L4vy

mR

，
隨導(dǎo)線框在豎直方向受到的增加，加速度a減小，
當(dāng)a=0時(shí)，導(dǎo)線框?qū)⒆鰟蛩僦本�運(yùn)動(dòng)，速度v_ym=

mRg

k2L4

；
因此導(dǎo)線框在豎直方向先做變加速運(yùn)動(dòng)，最終做勻速直線運(yùn)動(dòng)，
勻速運(yùn)動(dòng)的速度v_ym=

mRg

k2L4

；
最終方框勻速運(yùn)動(dòng)，速度大小為v=

v 2 x + v 2 y

=

v 2 0 + m2R2g2 k4L8

，
設(shè)速度方向與x洲間的夾角是θ，tanθ=

vy

vx

，方向與x軸成arctan

mRg

v0k2L4

；
（2）由圖象可得線框下落H高度時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，
由能量守恒定律得：Q=mgH+

1

2

mv₀²-

1

2

mv²
Q=mgH-

m3R2g2

2k4L8

；
答：（1）方框最終做運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)．
（2）方框下落H高度時(shí)產(chǎn)生的內(nèi)能是mgH-

m3R2g2

2k4L8

．

點(diǎn)評(píng)：磁場(chǎng)不是勻強(qiáng)，磁場(chǎng)是變化的，導(dǎo)線框產(chǎn)生的感應(yīng)電流是變化的，導(dǎo)線框受到的安培力是變力，導(dǎo)線框受力情況比較復(fù)雜，本題難度較大，是一道難題；分析清楚導(dǎo)線框的運(yùn)動(dòng)過程，對(duì)導(dǎo)線框正確受力分析，是正確解題的關(guān)鍵．