(2007?連云港三模)如圖甲所示,質量分別為m=1kg,M=2kg的A、B兩個小物塊用經(jīng)彈簧相連而靜止在光滑水平面上,在A的左側某處另有一個質量也為m=1kg的小物塊C以v0=4m/s的速度正對A向右勻速運動,一旦與A接觸就將粘合在一起運動,若在C與A接觸前對A施加一個水平向右的瞬時沖量I,從A獲得瞬時沖量作用的時刻開始計時,向右為正方向,其速度隨時間變化的圖象如圖乙所示(C與A未接觸前),彈簧始終未超過彈簧性限度.

(1)求對A施加的瞬時沖量I的大;
(2)在C與A接觸前,當A的速度分別為6m/s、2m/s、-2m/s時,求對應狀態(tài)下B的速度,并在此基礎上在圖乙中粗略畫出B的速度隨時間變化圖象;
(3)若C分別在A的速度為vA1=4m/s、vA2=-2m/s時與A接觸,試計算這兩種情況下在接觸后的運動過程中彈性勢能的最大值Epm1和Epm2
(4)若C在A的速度為vA時與A接觸,在接觸后的運動過程中彈性勢能的最大值為Epm,試證明Epm與第(3)問中的Epm1、Epm2間滿足:Epm1≥Epm≥Epm2
分析:C與A接觸前,A、B組成的系統(tǒng)動量守恒,由動量守恒定律得到B速度的表達式,再代入數(shù)據(jù)求出B的速度,畫出圖象.
無論C與A如何接觸,當A、B、C具有相同速度u時彈性勢能最大.根據(jù)系統(tǒng)的動量守恒求出u.再研究A、B碰撞過程,根據(jù)動量守恒和能量守恒求出碰撞損失的機械能.由三個物體的系統(tǒng)機械能守恒得到彈簧彈性勢能的表達式Ep表達式,分析得到范圍.
解答:解:(1)由圖可知:對A施加瞬時沖量后的初速度為vA0=6m/s,
所以施加的瞬時沖量I的大小I=mvA0=6N?s
(2)由動量守恒定律 mVA0=mVA+MVB   ①
得  vB=
m
M
(VA0-VA
代入數(shù)據(jù)得 B與A對應的速度為0,2m/s,4m/s 
描繪圖象如圖示
(3)無論C與A如何接觸,當A、B、C具有相同速度u時彈性勢能最大,
 由動量守恒定律  mV0+mVA0=(2m+M)u    ②
   u=2.5m/s
設C與A碰撞前后A的瞬時速度分別為VA、V,碰撞過程缺失機械能為△E,則
   mV0+mVA=2mV  ③
△E=
1
2
mv
2
0
+
1
2
mv
2
A
-
1
2
×2mV2  ④
設最大的彈性勢能為Ep,則 Ep=
1
2
mv
2
0
+
1
2
mv
2
A0
-
1
2
(2m+M)u2-△E  ⑤
聯(lián)立②~⑤解得 EP=
1
2
mv
2
0
+
1
2
mv
2
A0
-
1
2
(2m+M)u2-
1
4
m(V0-VA2
可見VA=V0時,C與A接觸而粘在一起,不損失機械能,△E=0,EP有最大值EPm.代入⑥式得
Epm=
1
2
×1×42+
1
2
×1×62-
1
2
×(2×1+2)×2.52-0=13.5J
當VA反向最大時,△E最大,EP有最小值EPmin
由第(1)問知,當VA=-2m/s時,B的速度VB=4m/s,這時A、B的總動能 EKAB=
1
2
mv
2
A
+
1
2
Mv
2
B
=18J
A剛開始運動時,A、B和彈簧組成系統(tǒng)的總能量 EK=
1
2
mv
2
A0
=18J
可見C與A碰撞前,A的反向最大速度不會超過2m/s,代入⑥得
  EPm=
1
2
×1×42+
1
2
×1×62-
1
2
×(2×1+2)×2.52-
1
2
×2×(4+2)2=4.5J
所以A的速度為vA1=4m/s時與A接觸,彈簧彈性勢能最大值Epm1=13.5J
A的速度為vA2=-2m/s時與A接觸,彈簧彈性勢能最大值Epm2=4.5J.
所以彈簧彈性勢能最大值的變化范圍是 13.5J≥EP≥4.5J   
答:(1)對A施加的瞬時沖量I的大小是6N?s;
(2)在C與A接觸前,當A的速度分別為6m/s、2m/s、-2m/s時,B與A對應的速度為0,2m/s,4m/s;
(3)若C分別在A的速度為vA1=4m/s、vA2=-2m/s時與A接觸,這兩種情況下在接觸后的運動過程中彈性勢能的最大值Epm1=13.5J
Epm2=4.5J.
(4)證明如上.
點評:對于這類彈簧問題注意用動態(tài)思想認真分析物體的運動過程,注意過程中的功能轉化關系;解答時注意動量守恒和能量守恒列式分析求解.
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