【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）求的極坐標方程；

（2）將曲線上所有點的橫坐標不變，縱坐標縮短到原來的倍，得到曲線，若與的交點為（異于坐標原點），與的交點為，求．

【題目】某種產品的質量用其質量指標值來衡量)質量指標值越大表明質量越好,且質量指標值大于或等于102的產品為優(yōu)質品.現用兩種新配方(分別稱為配方和配方)做試驗,各生產了100件這種產品,并測量了每件產品的質量指標值,得到下面試驗結果:

配方的頻數分布表:

配方的頻數分布表:

（1）分別估計用配方、配方生產的產品的優(yōu)質品率;

（2）已知用配方生產的一件產品的利潤(單位:元)與其質量指標值的關系為,估計用配方生產的一件產品的利潤大于的概率,并求用配方生產的上述件產品的平均利潤.

【題目】已知函數，.

（1）當時，求函數的單調遞增區(qū)間；

（2）若函數只有一個零點，求實數的取值范圍；

（3）當時，試問：過點存在幾條直線與曲線相切？

【題目】已知數列的前項和滿足.

（1）求數列的通項公式；

（2）記，是數列的前項和，若對任意的，不等式都成立，求實數的取值范圍；

（3）記，是否存在互不相等的正整數，，，使，，成等差數列，且，，成等比數列？如果存在，求出所有符合條件的，，；如果不存在，請說明理由.

【題目】已知直線為橢圓的右準線，直線與軸的交點記為，過右焦點的直線與橢圓交于，兩點.

（1）設點在直線上，且滿足，若直線與線段交于點，求證：點為線段的中點；

（2）設點的坐標為，直線與直線交于點，試問是否為定值，若是，求出這個定值，若不是，請說明理由.

【題目】某沿海特區(qū)為了緩解建設用地不足的矛盾，決定進行圍海造陸以增加陸地面積.如圖，兩海岸線，所成角為，現欲在海岸線，上分別取點，修建海堤，以便圍成三角形陸地，已知海堤長為6千米.

（1）如何選擇，的位置，使得的面積最大；

（2）若需要進一步擴大圍海造陸工程，在海堤的另一側選取點，修建海堤，圍成四邊形陸地.當海堤與的長度之和為10千米時，求四邊形面積的最大值.

【題目】“移動支付、高鐵、網購、共享單車”被稱為中國的“新四大發(fā)明”.為了幫助50歲以上的中老年人更快地適應“移動支付”,某機構通過網絡組織50歲以上的中老年人學習移動支付相關知識.學習結束后,每人都進行限時答卷,得分都在內.在這些答卷(有大量答卷)中,隨機抽出份,統計得分繪出頻率分布直方圖如圖.

(1)求出圖中的值,并求樣本中,答卷成績在上的人數;

(2)以樣本的頻率為概率,從參加這次答卷的人群中,隨機抽取名,記成績在分以上(含分)的人數為,求的分布列和期望.

【題目】已知無窮數列的各項都是正數，其前項和為，且滿足：，，其中，常數．

（1）求證：是一個定值；

（2）若數列是一個周期數列（存在正整數，使得對任意，都有成立，則稱為周期數列，為它的一個周期），求該數列的最小周期；

（3）若數列是各項均為有理數的等差數列，（），問：數列中的所有項是否都是數列中的項？若是，請說明理由；若不是，請舉出反例．

【題目】已知函數．

（1）若，，求的值域；

（2）當時，求的最小值；

（3）是否存在實數、，同時滿足下列條件：① ；② 當的定義域為時，其值域為．若存在，求出、的值；若不存在，請說明理由．