Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，試問：過點(diǎn)存在幾條直線與曲線相切？

Answer 1

【答案】（1）和； （2）；

（3）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)有1條直線與曲線相切；當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)有2條直線與曲線相切；當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)有3條直線與曲線相切.

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，分別求出在兩段區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間即可.

（2）.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，分和具有不同的大小關(guān)系兩種情況去判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況即可。

（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，切線的斜率，得到方程 ，化簡(jiǎn)得.再判斷出方程無解，即沒有符合題意的切線.當(dāng)時(shí)，同理可得：，判斷出方程解的個(gè)數(shù)，即為存在的切線條數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，由得：或，又，

所以， 或，即在和上單調(diào)遞增；

又時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增；

綜上可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和.

（2）.

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，由得，

①若，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

因?yàn)楹瘮?shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，且，

所以只要，解得.

①若即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>，，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)榍芯�的斜率，所以，化簡(jiǎn)得.

令，則，

因?yàn)?/span>，所以，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又，此時(shí)函數(shù)在沒有零點(diǎn)，即沒有符合題意的切線.

當(dāng)時(shí)，同理可得：，令，則，

因?yàn)?/span>，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，，，

又由知，，

所以，當(dāng)時(shí)，，，故函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，即符合題意的切線只有1條；

當(dāng)時(shí)，，，故函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，即符合題意的切線有2條；

當(dāng)時(shí)，，，故函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，即符合題意的切線有3條；

綜上可知，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)有1條直線與曲線相切；

當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)有2條直線與曲線相切；

當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)有3條直線與曲線相切.